مذكرة مبادئ الاحصاء ١٤٣٨ -  المستوى الاول - شكرا لاستاذ المادة : د.فراس حداد

سوف يتم اضافة القوانين المطلوبة للحل في الصفحة الاخيرة من الاختبار النهائي ( بداية من مقاييس النزعة المركزية )

طول الفئة : ∆

الوسط الحسابي للعينة:

μ معناه في الاحصاء الوسط الحسابي لكافة المجتمع. ( يكون تقديرياً). هذه معلمة.

σ معناه في الاحصاء الانحراف المعياري لكافة المجتمع.  هذه معلمة.

حجم المجتمع: N

حجم العينة: n وهو عدد المشاهدات اذا كانت البيانات اولية

 ومن توزيع تكراري يعرف كما يلي

h : عدد الفئات

 التباين للعينة و رمزه S2

الانحراف المعياري للعينة و رمزه S

x = مركز الفئة

 الفئة الوسيطية: هي اول فئة يزيد تكرارها المتجمع عن  n على اثنين او يساويها

يكون هو المئين

الوسط الحسابي الهندسي للبيانات الاولية  = 

الوسيط M للبيانات الاولية للبيانات الفردية

الوسيط M للبيانات الاولية للبيانات الزوجية

المدى المئيني = المئين ٩٠ - المئين ١٠           اي نزيل ١٠٪ من الطرفين

المدى الربيعي = الربيع الثالث - الربيع الاول

نصف المدى الربيعي = ( الربيع الثالث - الربيع الاول) / ٢

تمرين بناء جدول توزيع تكراري - علامات ٨٠ طالب  https://goo.gl/9H72ns    - حساس لحالة الحرف - (من محاضرات جامعة الامام عبدالرحمن بن فيصل)

الة حاسبة للرسم https://www.desmos.com/calculator

موقع تدخل به المسألة في المواضيع - الجبر٬ الاحصاء٬ الكيمياء٫ علم المثلثات٬التفاضل و التكامل٬ وغيرها -  فيظهر لك الحل النهائي https://www.mathway.com/Algebra

للاطلاع على طريقة الحل يجب ان تدفع رسوم الاشتراك في الموقع

http://www.jmasi.com/ehsa/  موقع محمد شكري الجماصي

س ١٦ : من اكثر مقاييس التشتت استخداما في الدراسات ؟  الاجابة: التباين

س : معامل التغيير يعتمد في حسابه على مقايسين هما ؟ الوسط الحسابي و الانحراف المعياري

س ٥٨ : التكرار النسبي لفئة من فئات التوزيع التكراري هو: الاجابة :خارج قسمة تكرار الفئة على مجموع التكرارات

س ٦٠: طوال الفئة في التوزيع التكراري تمثل في المدرج التكراري؟ الاجابة : عرض المستطيل

س ٦٥: نعين على المحور الافقي في المدرج التكراري؟ الفئات الفعلية

س: اتخاذ القرار في الاحصاء التحليلي يكون على شكل:  الاجابة : جميع ما ذكر

- قبول او رفض                - تعميم                 - تقدير                - جميع ما ذكر

س : قسم الاحصاء المسؤول عن اتخاذ القرار في اي دراسة هو  a. الوصفي  b.الاستقرائي  (الجواب b)

س:مقدار الفرق بين متوسط العينة و متوسط المجتمع يسمى : ؟

تجمعات طلابية لطلاب الانتساب - جامعة الامام عبدالرحمن بن فيصل

 http://www.cofe-cup.net/vb/

http://www.multqa-ud.com/vb/

https://vb.ckfu.org/

اذا كنت تقرأ الملف علي صيغة بي دي اف حاول تدوير الصفحة الثانية باستخدام  زر التدوير ( او اصبعين)

المحاضرة الاولى / مقدمة في الاحصاء       https://youtu.be/D5SO0427M80

علم الاحصاء/ العلم الذي يهتم بطرق جمع و عرض و تحليل البيانات لاتخاذ القرار المناسب بناءا على هذا التحليل.

يستخدم علم الاحصاء في كل الحقول العلمية التي تعامل معها الانسان مثل: التعليم الصحة الادارة الزراعة … الخ .

الاحصاء له خاصيتان :

أ. نظرية : وهو ما يسمى الاحصاء الرياضي.

النظرية حيث يتعامل علم الاحصاء مع البرهان لبعض (النظريات الاحصائية٬ الاشتقاق٬ القوانين٬ المعادلات).

الاحصاء النظري يخص بالمتخصصين في الاحصاء.

ب. عملية: ( التطبيقي)

العملية وهي تطبيق هذه النظريات او القوانين او القواعد الرياضية لحل بعض المشكلات الحقيقية في المجتمع.

يقسم الاحصاء العملي الى قسمين حسب التعامل مع البيانات وهما:

١- الوصفيdescribtive: ويتضمن جمع و عرض و تحليل بيانات العينة باستخدام ( الرسومات الاحصائية٬ المقاييس الاحصائية٬ و الجدول) حيث تؤدي هذه الى وصف البيانات.  

٢- التحليليinferential (الاستقرائي): يقوم بتفسير النتائج التي يصل اليها الاحصاء الوصفي لاتخاذ القرارات المناسبة و تعميمها على المجتمع.

بعض المصطلحات الاحصائية المهمة :

- المجتمع (اومجتمع الدراسة): هو مجموع جميع الافراد موضوع البحث.

هنالك نوعان من المجتمع بالنسبة الى عدد افراده:

١- منتهي اي يمكن حصره و عدّ افراده ( مثل اعداد الكتب في مكتبة الجامعة)

٢- غير منتهية اي لا نستطيع حصر عدد افراد هذا المجتمع مثل ( عدد افراد المجتمع الذي يستخدم دواء panadol

- العينة : مجموعة جزئية من المجتمع.

- المعلمة Parameter ( وهي مهمة في مادة الاحصاء القادمة) :

هو قيمة عددية توصف جميع بيانات التي تمثل المجتمع و يرمز لها بالحروف اليونانية.

مثال/ معدل اطوال طلاب جامعة الدمام (μ) و الانحراف المعياري لاطوال هؤلاء الطلاب(σ).

μ معناه في الاحصاء الوسط الحسابي لكافة المجتمع. اما الوسط الحسابي للعينة فهو

σ الانحراف المعياري للمجتمع

- الاحصائيات statistics: قيمة عددية تمثل بيانات العينة و يرمز لها بالحروف الانجليزية مثل M ,S

مثال: معدل اطوال عينة مكونة من ٣٠ طالب من طلاب الجامعة.

- المتغير variable : الخصائص التي يتصف فيها كل افراد المجتمع او العينة ( العمر٬ الطول٬ الوزن… الخ)

اول مهمة يقدمها علم الاحصاء هي جمع البيانات و لهذا يجب سحب عينة من المجتمع . اذا كانت العينة ممثلة حقيقية للمجتمع كانت نتائجها قريبة من تمثيل المجتمع. ومن المهم العشوائية وعدم التحيز لاي قيمة.

مراحل البحث الاحصائي: من اهم مراحل البحث هي عملية جمع البيانات:

تحديد مجتمع الدراسة؟ من هم المستفيدين من الدراسة؟

عملية جمع البيانات: استبدال المجتمع بعينة يجب ان يتم بطريقة صحيحة.

حتى نقوم بجمع البيانات فاننا لابد ان نسحب عينة من المجتمع. نستخدم العينة لان المجتمع كبير جدا.

الاحصاء الوصفي: نصف بيانات العينة == العينة

الاحصاء التحليلي - الاستقرائي - الاستدلالي -  : نصف بيانات ( نعمم النتائج على مستوى المجتمع) == المجتمع

 المحاضرة الثانية : https://www.youtube.com/watch?v=fIB3bCIt2-Y

الاحصاء له وجهان نظري و تطبيقي٬ التطبيقية تنقسم الى وصفي و تحليلي٬ اما الوصفي يصف البيانات٬ مثل مقاييس النزعة المركزية و مقاييس التشتت. الوسط الحسابي يعطي وسط و مركز البيانات و هذا سبب تسميتها النزعة المركزية. و يفضل استخدام مقاييس اكثر مثل التباين او الانحراف المعياري لنعرف بعد البيانات عن الوسط الحسابي. فاذا كانت قيمة مقياس التشتت كبيرة كان بعد البيانات عن الوسط الحسابي كبير.

جمع البيانات: حتى نقوم بجمع البيانات فاننا لابد ان نسحب عينة من المجتمع. يجب ان يكون سحب العينة عشوائيا و غير متحيز.

طرق سحب العينات: وهنالك 5 طرق. و هي اعلى استخدام اي ٩٥٪.

1- العينة العشوائية البسيطة: simple random sample

من اهم صفات استخدام هذه الطريقة هو

 أ) حجم المجتمع يجب ان يكون معلوماً مسبقاً. نرمز لحجم المجتمع بالحرف N.

 ب) ان يكون افراد المجتمع متجانسين. - اي لا يكون هنالك فروق بين الافراد -

مثال: معدل اطوال طلاب كلية الدراسات التطبيقية و خدمة المجتمع.

افضل طريقة هي العينة العشوائية البسيطة ونجري الدراسة على العينة

اذا عدد الطلاب معروف  - و نلاحظ عدم وجود اختلافات بين الطلاب

حجم المجتمع تم تحديده ب N=1000 اريد ان اسحب عينة حجمها n=50  - يُعطى حجم العينة في السؤال - ورمزه n

نستخدم ما يعرف في علم الاحصاء - بجداول الارقام العشوائية -. نعطي كل طالب رقم من ٠٠٠ حتى ٩٩٩ اي اننا انقصنا ١ من ١٠٠٠ .  لو كان الرقم اربع خانات لوجدنا صعوبة في سحب العينة.

 نلاحظ ان كل رقم من جدول الارقام العشوائية عدد خاناته ٥ خانات - و عليك استخدام ٣ خانات فقط من اليسار خلال عملية سحب العينة n مرات.

 نأتي بجدول الارقام العشوائية و نضعه على  طاولة - ونسقط القلم على الجدول- ونسحب ارقام المختارين في العينة.

٤٧٣٩٠   -   ٢٨٢٠٢   -  ٣٧٩٨٨  -   ٧٢٩٦٧    -    ١٣٧٩٤   -  

ناخذ اطوال الطلاب العينة  ثم نوجد الوسط الحسابي للعينة ورمزه: اكس بار

الناتج يصف العينة لا المجتمع و نعمم النتيجة على المجتمع وهذه وظيفة الاحصاء الاستقرائي.

جدول الارقام العشوائية يوجد في كتب الاحصاء والأرقام فيه موزعة عشوائيا لاستخراج العينة بطريقة عشوائية.

2- العينة الطبقية:

من خصائص هذه الطريقة ان يكون المجتمع غير متجانس و عدد افراده N غير معلوم -

الدافع الى استخدام هذه الطريقة ان يكون المجتمع غير متجانس.

مثال: معدل دخل الفرد السنوي. تم تمثيل المجتمع بشكل مستطيل و لدينا اربع طبقات

N1 متجانس               N2  متجانس         N3  متجانس           N4 متجانس  

استطعنا تقسيم المجتمع الى ٤ طبقات٬ افراد كل طبقة متجانسين.

n = n1 + n2 + n3 + n4                  N = N1 + N2 + N3 + N4

لايجاد حجم العينة لكل مجتمع مقسم نستخدم القانون التالي حيث i هي تعداد الطبقة

لايجاد العينة للطبقة n1 نعوض في القانون كما يلي

بالتعويض نجد ان العينة للطبقة الاولى يساوي ٥ وهكذا لسائر الطبقات.

يتم تحديد العينة بطريقة النسبة و التناسب. - الرجاء التدريب على ايجاد حجم العينة فمنها ياتي اسئلة في الامتحان-

ملاحظة: هنا نستخدم طريقتين لسحب افراد العينة٬ الطريقة الاولى باستخدام العينة الطبقية اما الطريقة الثانية فهي العينة العشوائية البسيطة.

3- العينة العنقودية:                                        انظر سؤال الواجب الاول ١٤٣٨ رقم ٢

هنا نستخدم طريقتين هما الطريقة الطبقية٬ اما الطريقة الثانية فهي العينة الشوائية البسيطة. فبعد تحديد الطبقات نسحب من كل طبقة عينة عشوائية بسيطة تناسب حجم الطبقة.

4- العينة المنتظمة:

تستخدم عندما يكون المجتمع في مكان محصور. تهتم بنوعية منتج معين. مثل دراسة نوعية الأكل الذي يقدم في مطعم الجامعة٬ ناخذ من الطلاب الذين يغادرون المطعم الى العينة. مع تثبيت عدد الاشخاص الذين بعدهم نسحب الى العينة.

الاول٬ الثاني٬ الثالث٬ الرابع٬ ثم ناخذ الخامس الى العينة - الاول٬ الثاني٬ الثالث٬ الرابع٬ ثم ناخذ الخامس الى العينة - حتى يكتمل عدد العينة n  المراد اجراء الدراسه عليه.

5- العينة المعيارية: تستخدم في الدراسات الطبية.

المعيارية اي افضل عينة يمكن استخدامها.

مثال\ نسبة نجاح العملية الطبية. يجري المستشفى دراسة على نسبة نجاح عملية٫ يتم اخذ اول عشر عمليات. وجدت نسبة النجاح ٦٠٪ ٬ عند رفع عدد العمليات الى اول ٢٠ عملية وجدت نسبة النجاح ٦٥٪ وبعد ثلاثين عملية وجدت نسبة النجاح ٧٠٪ . يتم تثبيت النسبة عند الحصول على نفس نسبة النجاح عند زيادة عدد العمليات في العينة. فبعد ٤٠ عملية وجدت النسبة عند ٧٠٪ . و بعد ٧٠ عملية وجدت النسبة عند ٧٠٪. و بعد ٩٠ عملية وجدت النسبة عند ٧٠٪ .

تستخدم هذه الطرق الخمس في معظم الدراسات الموجودة٬ و ليس سهل على الدارس تحديد الطريقة المناسبة التي تناسب مجتمع الدراسة.

بعد جمع البيانات سنتعلم كيف نعرضها بطريقة جيدة. من اهم خطوات و اجزاء اي بحث هو الوصف. يجب وصفها بشكل دقيق و عميق. كلما وصفت البيانات عُرف عنها شيء جديد. و دعا ذلك الى مواصلة البحث.

الاحصاء هو وسيلة لا غاية. مثال:

 قبول الطلبة لعملية التعلم باستخدام الموبايل. هنا يحتاج الباحث الى الاحصاء.

1- يحدد مجتمع الدراسة. هل يجريها على الجامعة؟ وهل يجريها على البكالريوس ام الماجستير ام الدكتوراه.

 2- يحدد حجم العينة و اختيار طريقة سحب العينة + سحب العينة.

3- جمع البيانات من افراد العينة. هنالك عدة طرق لجمع البيانات/ أ- الهاتف،ب-  المقابلة الشخصية، ج- الاستبانة،

4- عرض البيانات بطريقة صحيحة. الرسومات او بعض المقاييس الاحصائية التي تصف هذه البيانات ٬ …..

 5- تحليل هذه البيانات. باستخدام بعض القوانين و القواعد الاحصائية. جميع الخطوات السابقة قام بها الاحصائي

 6- اتخاذ القرار. قبول او رفض٬ او تعميم نتائج العينة على المجتمع٬ او تقدير من نتائج العينة الى نتائج المجتمع٬…..

 7- الهدف من الدراسة.

المحاضرة الثالثة - الجزء الاول / عرض البيانات. https://www.youtube.com/watch?v=1RMum4pxgI4

عرض البيانات المفردة.  طرق عرض البيانات الوصفية/ ستة انواع:

1 طريقة الجدول:

وهي عبارة عن وضع البيانات في جدول٬ حيث يوضع عنوان لكل جدول بما يحتوي هذا الجدول من معلومات وهو ما يسمى التبويب. يجب وضع عنوان للجدول ليفهم الناظر الجدول + الوحدات المستخدمة + مذكرات المصادر التي اخذت منها البيانات + مذكرات تفسيرية تفسر القيم الشاذة ان وجدت..

مثال: كان عدد الطلبة في احد المدارس الاساسية في عام ١٩٩٥ كما في الجدول (١) :

الجدول (١) عدد طلاب مدرسة لعام ١٩٩٥

من هذا الجدول نستطيع ان نفسر ما داخل هذه المدرسة مثل الصفوف وعدد الطلاب في كل فصل. ان اكبر عدد للطلاب كان في الصف الاول و ان الصفوف من السابع و حتى العاشر لهم نفس عدد الطلبة.

2 طريقة المستطيلات او الاعمدة:

تستخدم هذه الطريقة للمقارنة بين قيم الظواهر حسب الزمن او المسميات.

توضع المسميات على محور افقي ورسم مستطيل على كل مسمى يكون طول ارتفاعه ممثلاً للقيمة المقابلة لذلك المسمى وذلك باستعمال مقياس رسم مناسب. يوضع عنوان للجدول + الوحدات المستعملة + مصادر البيانات. لاحظ في المثال انه لدينا ٣ احصائيات

مثال: يمثل الجدول (٢) اعداد الطلبة في احدى الكليات في جامعة الدمام خلال الاعوام ٩٤/١٩٩٥ - ٩٧/١٩٩٨

الجدول(٢) عدد الطلاب حسب الجنس في احد كليات جامعة الدمام

كان عدد الذكور اكبر من عدد الاناث في كل عام. كان عدد الذكور ٦٠٠ طالب في العام ٩٤/٩٥ و كان مجموع الطلبة ٨٠٠ طالب و طالبة. اكبر عدد من الطلبة كان ١٨٥٠ و ذلك عام ٩٧/٩٨ و كان عدد الاناث ٨٠٠ طالبة.

نضع الاعوام على المحور الافقي في المنتصف لكل عام حتى يظهر لنا انها تمثل جميع البيانات.

يمثل اللون الازرق الذكور و يمثل اللون الرمادي عدد الاناث. يمثل اللون الاصفر مجموع الطلاب.

3 طريقة الخط المنكسر: تستخدم  لعرض بيانات الناتجة من لتغير ظاهرة او عدة ظواهر مع مسميات او مع الزمن او تغيير اعداد الطلبة في جامعة مع الاعوام او تغير درجة حرارة مريض مع الزمن. مثل مخططات القلب.

تفيد هذه الطريقة متابعة التغير مثل نبض مريض او درجات الحرارة.

الخط االازرق يمثل الذكور و يمثل الخط الاحمر الاناث و يمثل الخط الاصفر المجموع.

علينا ان نضع لاي رسمة رقم للشكل

الشكل (٢) عدد الطلاب لمدرسة

4 طريقة الخط المنحنى هي نفسها طريقة الخط المنكسر و الفرق الوحيد هو طريقة التوصيل بين النقاط المتتالية حيث تكون هنا على شكل منحنى.  تستخدم هذه الطريقة عندما تتغير الظاهرة على فترات زمنية قصيرة و كثيرة. مثل هطول الامطار و درجة الحرارة.

المحاضرة المسجلة الثالثة ج٢ تكملة طرق عرض البيانات المفردة  RHZFuuHlU6A

5 طريقة الدائرة:                                                         انظر سؤال الواجب الاول ١٤٣٨ رقم ١

نقوم بتقسيم الكل الى أجزائه٬ فيمثل المجموع الكلي بدائرة كاملة ويمثل كل جزء بقطاع دائرة.

مثال: يمثل الجدول (٣) عدد اعضاء هيئة التدريس في احدى الجامعات خلال الاعوام ٩٥/٩٦ - ٩٨/٩٩

الجدول (٣)  عدد اعضاء هيئة التدريس في احدى الجامعات خلال الاعوام ٩٥/٩٦ - ٩٨/٩٩

اعرض هذه البيانات بطريقة دائرة.

مجموع درجات الدائرة ٣٦٠ درجة نقسم هذه الدائرة الى عدة اجزاء او قطاعات دائرية.

تمرين/ اوجد المجهول. كم عدد الساعات التي قضاها الطالب في دراسة مادة الاحصاء. اذا علمت انها تمثل بزاوية مقدارها ١٠٨ درجة. وعلمت ان مجموع الساعات الكلية التي قضاها الطالب في الدراسة تساوي ٤٠ ساعة.

زاوية القطاع

تمرين/ لمجموعة من القيم٫ اذا مثلت احدى القيم بطريقة الدائرة و كانت زاوية القطاع ٣٠ درجة وكان تكرار تلك القيمة تساوي ٦ فان مجموع جميع التكرارات لجميع القيم يساوي؟

زاوية القطاع

6 الطريقة التصويرية.

التوزيع التكراري

التعريف : هو عبارة عن جدول يحتوي على عمودين الاول يمثل الفئات و الثاني يمثل التكرارات.

ان احد الطرق لعرض بيانات عددها كبير هو التوزيع التكراري٬ وهو احد الطرق التي نتمكن بواسطتها من تنظيم البيانات الكثيرة بحيث لا تخسر هذه البيانات اهميتها. الطريقة الاساسية لبناء التوزيع التكراري هي عبارة عن تقسيم مدى قيم البيانات الى فئات و حصر عدد البيانات الواقعة ضمن كل فئة.

خصائص التوزيع التكراري :

1 الفئات تكون غير متداخلة. ( اي لا تبدا الفئة التالية من داخل الفئة السابقة)

2 يجب ان تكون الفئات ذات اطوال متساوية.

3 ان تحتوي هذه الفئات على جميع البيانات التي نريد تمثيلها. يجب ان يحتوي على جميع البيانات الاولية التي جمعها الباحث.

يجب دراسة اعمدة هذا التوزيع بشكل صحيح لما لها من اهمية في علم الاحصاء و المحاضرات القادمة.

المحاضرة الرابعة بناء التوزيع التكراري   https://youtu.be/4BVANS1zQjc

مثال/ ابن التوزيع التكراري للبيانات التالية: التي تمثل علامات ٥٠ طالب في امتحان نهائي لمادة مبادئ الاحصاء

21,22,25,30,35,33,18,41,42,47,

26,19,20,29,30,38,36,35,15,19,

17,16,21,22,32,33,35,41,45,46

يتم بناء التوزيع حسب الخطوات التالية:

١) الخطوة الاولى/ نحدد عدد الفئات و عادة تكون بين 5 و 15 اذا كانت البيانات كبيرة. في مثالنا لتكن عدد الفئات 6 .

٢) الخطوة الثانية/ نحدد المدى وهو  = اكبر مشاهدة ناقص اصغر مشاهدة ( اكبر مشاهدة - اصغر مشاهدة )

=47-15=32

اذا كان المدى صغيرا فإننا نستخدم قيم المشاهدات٫ ونضع التكرارت امامها.

٣) نجد طول الفئة  ( يقرأ دلتا):    ( انظر الصفحة الاخيرة)

 طول الفئة = المدى على عدد الفئات ونقرب طول الفئة الى الاعلى

= 5.3333 ≈ 6              التقريب يكون الى الاعلى دائما  

ملاحظة: طول الفئة يجب ان يكون متناسق مع البيانات، فإذا كانت البيانات اعداد صحيحة يجب ان يكون طول الفئة عدد صحيح. واذا كانت البيانات ذات منزلة عشرية واحدة يجب ان يكون كذلك طول الفئة ذو منزلة عشرية واحدة و هكذا.

مثال: حول كيف نقرب دلتا حسب البيانات الموجودة في الدراسة؟

• اذا كانت البيانات ذات منزلة عشرية واحدة:

    لنفرض ان حاصل كان ذا منزلتين عشريتين٬ علينا ان نقربها الى منزلة واحدة كما في البيانات

 = 2.56 ≈ 2.6                 التقريب دائما الى الاعلى

 = 6.333 ≈ 6.4                 التقريب دائما الى الاعلى

 = 4.2476812 ≈ 4.3         نقرب دائما الى الاعلى

• اذا كانت البيانات ذات منزلتين عشريتين:  لنفرض ان

 = 4.2476812 ≈ 4.25         نقرب دائما الى الاعلى

 = 6.333 ≈ 6.34                 نقرب دائما الى الاعلى

تمرين/ وجد أن طول الفئة يساوي ٦ ٬ وان عدد الفئات هو ٥. ماهي القيمة المجهولة٬ ثم اوجدها.

نختصر الخمسة مع الخمسة

٤) نعين الحد الادني للفئة الاولى ( اقل قيمة )  الفئة الاولى هي الاهم : لان الفئات الاخرى معتمدة على هذه الفئة.

الفئة تتكون من حدين، حد ادنى و حد اعلى

الحد الادنى للفئة هو اصغر من او يساوي اصغر مشاهدة. ويفضل اختيار اصغر مشاهدة من بين المشاهدات.

 في مثالنا: الحد الادني = ١٥

٥) نعين الحد الاعلى للفئة الاولى وهو = الحد الادنى + - وحدة دقة  

اذا الفئة الاولى في التوزيع التكراري

وحدة الدقة تتناسب مع شكل البيانات:

-اذا كانت البيانات اعداد صحيحة كانت وحدة الدقة وفي مثالنا وحدة الدقة هي ١ لان البيانات اعداد صحيحة.

- واذا كانت البيانات ذات منزلة عشرية واحدة كانت وحدة الدقة تساوي

- اذا كانت البيانات ذات منزلتين عشريتين كانت وحدة الدقة هي

- اذا كانت البيانات ذات ثلاث منازل عشرية كانت وحدة الدقة هي  

٦)  لبناء الفئات الاخرى فقط نضيفالى كل حد من الحدين الاعلى و الادنى.

الحد الادنى = ١٥ - ٢١ - ٢٧ - ٣٣ - ٣٩ - ٤٥

الحد الاعلى = ٢٠ - ٢٦ - ٣٢ - ٣٨ - ٤٤- ٥٠

- ملاحظة: الفرق بين كل حد والحد الذي يسبقه هو يمثل ب .

مثال/ لدينا توزيع تكراري ذو فئات متساوية٬ماهو طول الفئة؟                     سؤال الواجب الاول ١٤٣٨  رقم ٥

الجواب = الحد الادني للفئة - الحد الادنى للفئة    

او  الحد الاعلى للفئة - الحد الاعلى للفئة    

مثال/ انظر الصفحة ٥٠

المحاضرة الخامسة تكملة شرح بناء التوزيع التكراري

التكرارات i / نضيف عمود التكرارات٬ ورمزه i . بعد كتابة التكرارات٬ قم بكتابة المجموع بعد الخانة الاخيرة.

و اصبح اسمه جدول التوزيع التكراري باتمام عمودين الفئات و التكرارات.

i=1+2+3+4+5+6

        =7+6+4+7+3+3=30

حتى الان لم نضف غير الفئات العادية.

نضيف الى الجدول مايلي:

مركز الفئة xi / احد اعمدة جدول التوزيع التكراري هو مركز الفئة و نستخدمه احيانا بدل الفئة نفسها.

الفرق بين كل مركز الفئة و التالي هو  وهو في مثالنا ٥:                 انظر الاختبار النصفي السؤال ٤٠

١٧.٥ -  ٢٣.٥ -  ٢٩.٥  -  ٣٥.٥  -  ٤١.٥ -  ٤٧.٥  

الفئات الفعلية/ لضمان دقة النتائج نوسع الفئة بمقدار وحدة الدقة٬ في مثالنا وحدة الدقة = ١

نطرح من الحد الادني نصف وحدة دقة  و نجمع الى الحد الاعلى نصف وحدة دقة

الحدان الفعليان للفئة  ٢٠-١٥     هما     ٢٠.٥ - ١٤.٥

ملاحظة/ اذا كانت وحدة الدقة ٠.١ فان نصفها  ٠.٠٥ وهكذا

التكرارات النسبية / نضيف للتوزيع التكراري عمود التكرارات النسبية٫ والتي يجب ان يكون مجموعها واحد.

التكرار المئوي / هو التكرار النسبي ضرب 100%

التوزيع التكراري المتجمع الصاعد/ جدول يحتوي على الحدود الفعلية العليا مع التكرارات المتجمعة

 يجب ان يبدأ من الصفر لذلك نضيف فئة تكرارها يساوي صفر. الفئة الجديدة حدها الفعلي الاعلى هو ١٤.٥     وحدودها الفعلية 14.5 - 8.5  وهذا ما نحتاجه لتكوين الفئات الفعلية العليا.

وهذا الجدول مهم جدا في وصف البيانات في حال كان عدد البيانات كبير جدا و المدى كبير.

تمارين

س: اكمل العبارة / التوزيع التكراري المتجمع الصاعد هو جدول يحتوي على … و …

س: علم الاحصاء الوصفي يهتم بدراسة

a> المجتمع          b> العينه

س: قسم الاحصاء المسؤول اتخاذ القرار في اي دراسة هو

a. الوصفي         b. الاستقرائي

السؤال 33 : من اكثر مقاييس النزعة المركزية استخداما في الدراسات ( موضوع مقاييس النزعة المركزية)

س:  اذا كان الوسط الحسابي لعشرة قيم يساوي 12 فان مجموع القيم العشرة تساوي

س:  نعين على المحور الافقي في المدرج التكراري ( الحل في الصفحة التالية)

مثال/ الجدول رقم (٢) صـ ٢١٢

توزيع تكراري للمستوى التعليمي لعينة الدراسة

الجدول رقم ٢

المصدر: ظاهرة السحر و الشعوذة دراسة ميدانية على المجتمع السعودي. اصدار: مركز البحوث و الدراسات الاسلامية

المحاضرة السادسة : تمثيل جدول التوزيع التكراري

لدينا جدول التوزيع التكراري، حين يكون لدينا عامود فئات وعامود  تكرارات يسمى توزيع تكراري

الحد الادنى للفئة الاولى = هو اصغر بيانة

الحد الاعلى للفئة الاولى = الحد الادنى + طول الفئة  - وحدة دقة

الحد الادنى للفئة التالية = الحد الادنى للفئة السابقة + طول الفئة

الحد الاعلى للفئة التالية = الحد الاعلى للفئة السابقة + طول الفئة

عدد الفئات يحدد في السؤال. العدد المناسب للفئات في التوزيع التكراري هو من ٥ الى ١٥

عامود التكرارات النسبية = (عند اضافة هذا العمود يصبح اسم الجدول التكرار النسبي)  

طرق تمثيل التوزيع التكراري

١) طريقة المدرج التكراري: يشبه الدرج.

نضع الفئات الفعلية على المحور الافقي، نضع التكرارت على المحور العامودي. ومن ثم نقيم المستطيلات بحيث تكون قاعدتها( عرض المستطيل ) تساوي طول الفئة △، وارتفاع هذه المستطيلات يساوي التكرار المقابل لهذه الفئة.

٢) المضلع التكراري:

نضع على المحور الافقي مراكز الفئات ، وعلى المحور العامودي التكرارات. ثم نحدد تكرار مراكز الفئات. يجب ان يكون المحور مغلق.اي ننشئ مركز فئة تكراره صفر قبل الفئة الاولى، ومركز لاحق لاخر فئة تكراره صفر.

٣) المنحنى التكراري: وهو نفس المضلع التكراري في رسمه، و الفارق الوحيد بينهما هو في طريقة التوصيل بين النقاط المتتالية بحيث هنا يكون بشكل منحنى.

٤) المضلع التكراري المتجمع الصاعد:

المحور الافقي = الحدود الفعلية العليا

المحور العامودي = التكرار المتجمع

نضيف فئة طولها Δ قبل الفئة الاولى يكون تكرارها صفر ونحدد حدها الفعلي الاعلى.

٥) المنحنى التكراري المتجمع: هو نفسه المضلع التكراري المتجمع في طريقة رسمه و الفرق الوحيد هو اننا نوصل بين النقاط بشكل منحنى.  ( لا يوجد رسم )

تمرين / املئ الجدول

المدرج التكراري يستخدم الفئات الفعلية مع التكرارات

المضلع التكراري يستخدم مراكز الفئات مع التكرارات

المنحنى التكراري يستخدم مراكز الفئات مع التكرارات

المضلع التكراري المتجمع يستخدم مراكز الفئات مع التكرارات المتجمعة

المنحنى التكراري المتجمع يستخدم مراكز الفئات مع التكرارات المتجمعة

مقاييس النزعة المركزية

الموضوع في المحاضرة السابعة

المحاضرة السابعة: الفصل الثاني: مقاييس النزعة المركزية

تعلمنا وصف البيانات من خلال الرسومات٬ والان نصف البيانات بالارقام بدقة اكبر. مثل/ الوسط الحسابي الذي يعطينا مركز البيانات٬ تتمحور حول اي قيمة؟ اما الوسيط هو القيمة التي تحجز تحتها ٥٠٪ من البيانات و ٥٠٪ اكبر منها.

 سنتعلم حساب مقاييس النزعة المركزية للبيانات في شكلين:

أ - بيانات مفردة : اي غير مجمعة في توزيع تكراري.

ب- بيانات مجمعة: اي البيانات من توزيع تكراري.

أ - البيانات مفردة:

النوع الاول من مقاييس النزعة المركزية: الوسط الحسابي ( يتأثر سريعا بالقيم الشاذة outliers)

تعريف الوسط الحسابي للبيانات المفردة والتي عددها X1, …., xn  

مثال/ احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية/    ٧  -  ٦    -  ٠    -  ١  -  ٥   -    ٢  

اذا كانت القيمة الشاذة كبيرة فانها تؤثر في الوسط الحسابي

مثال/ احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية/  ١٠ - ١٥ - ٣ -٧ - ٨ -١١ - ١٠٠

نلاحظ ان ٢٢ اكبر من غالبية البيانات٬ الان نحسب الوسط الحسابي بدون قيمة شاذة :

مثال/ احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية/  ١٠ - ١٥ - ٣ -٧ - ٨ -١١

النوع الثاني من مقاييس النزعة المركزية: الوسيط median  و رمزه

تعريف/ الوسيط في البيانات المفردة المرتببة ترتيباً تصاعديا او تنازليا هو القيمة التي تحجز تحتها ٥٠٪ من البيانات و بعدها ٥٠٪ من البيانات. اي هو القيمة المتوسطة للبيانات التي عددها فردياً واما ان كان عدد البيانات زوجيا فانه يساوي الوسط الحسابي للقيمتين المتوسطتين للبيانات.

مثال/ اوجد الوسيط من بين البيانات التالية/ ١٠ - ١٥ - ٣ - ٧- ٨- ١١- ١٠٠

الحل: نرتب البيانات تصاعديا  ٣ - ٧ - ٨ - ١٠ - ١١- ١٥ - ١٠٠

نشطب من الاطراف من اليسار ثم اليمين٬ حتى يتبقى قيمة واحدة. فتكون هي القيمة المتوسطة بعد ترتيب البيانات اذا كان عدد البيانات فردي.  اذا الوسيط هو ١٠

مثال/ احسب الوسيط للبيانات التالية/ ١٠ - ١٥ - ٣ - ٧- ٨- ١١

الحل: نرتب البيانات تصاعديا:  ٣ - ٧ - ٨ - ١٠ - ١١- ١٥

نشطب الأطراف من اليسار ثم اليمين حتى يتبقى قيمتان متوسطتان٫ ثم نوجد لهما الوسط الحسابي.

 اذا الوسيط هو ٨ + ١٠ تقسيم ٢ اذا الوسيط هو ٩

ملاحظة: الوسيط لا يتأثر بالقيم الشاذة. - يسمى متين robust

مثال/ احسب الوسيط للبيانات التالية/ 20 - 17 - 10 -  25- 28 - 1000 - 2 - 8 -

الحل: نرتب البيانات:  ٢ - ٨ - ١٠ - ١٧-  ٢٠ - ٢٥ - ٢٨ - ١٠٠٠

البيانات التي في السؤال زوجية٬ لذا نحسب الوسط الحسابي للقيمتين المتوسطتين بعد الشطب من الاطراف. ١٧+٢٠= ٣٧ ثم تقسيم ٢ = ١٨.٥   نلاحظ انه يقع بين القيمتين المتوسطتين.

النوع الثالث من مقاييس النزعة المركزية: المنوال mode

تعريف: هو القيمة الأكثر تكرارا بما يجاورها من بيانات مرتبة ترتيباً تصاعديا او تنازليا.

مثال/ اوجد المنوال ( المنوالات) للبيانات التالية:

5,7,5,3,4,5,5,6,7,9,9,10,9,5,9,9,5,

الحل: نرتب البيانات ترتيباً تصاعديا

3,4,5,5,5,5,5,5,6,7,7,9,9,9,9,9,9,10

المنوالات هي ٥ ، ٩  

ب- نوجد الان مقاييس النزعة المركزية للبيانات من توزيع تكراري:

النوع الاول: الوسط الحسابي/

 تعريف : اذا كانت مراكز الفئات في توزيع تكراري هي X1,x2,....xh

واذا كانت التكرارات المقابلة لها هي F1,F2,.....,Fh  فأن الوسط الحسابي لهذا التوزيع هو

نضرب مركز الفئة Xi في عدد التكرار Fi ثم نضيف اليه مركز الفئة في عدد التكرار حتى نصل الى h من المرات٬ h هو عدد الفئات . ثم نقسم على تكرار الفئة الاولى+تكرار الفئة الثانية + تكرار …  حتى h من المرات وهو عدد الفئات.

مثال/ احسب الوسط الحسابي للتوزيع التكراري التالي:

يوجد شرح لايجاد الوسيط من توزيع تكراري و المئينات و الربيعات و العشيرات و المنوال من توزيع تكراري قبل محاضرة مقاييس النزعة التشتت.

 محاضرة مباشرة - 1   https://youtu.be/a67QXrG9c3s

١- علم الاحصاء الوصفي يهتم بطرق:

2- اذا كان الحد الادني لفئة ما هو ١٥ وكان الحد الاعلى لنفس الفئة هو ١٩ فان طول الفئة هو:

الحل: الفترة هي ١٩ - ١٥ ٬   طول الفئة =  

اذا اعطينا التوزيع التكراري التالي: اجب عن الاسئلة التالية:

3- الحدان الفعلين للفئة الثالثة هما:

4- قيمة التكرار النسبي للفئة الثانية

الحل / التكرار النسبي = تكرار الفئة  تقسيم مجموع التكرارات = ٠.٢٥

٥- التكرار المئوي للفئة الثانية يساوي:

الحل / التكرار المئوي = التكرار النسبي ضرب ١٠٠٪

٦- مركز الفئة الرابعة هو:

الحل / مركز الفئة هو( الحد الاعلى للفئة + الحد الادنى للفئة) تقسيم ٢

٧- التكرار التراكمي للفئة الثالثة:

الحل / التكرار التراكمي = تكرار الفئة الاولى+ الثانية + الثالثة   ٣+٥+٨=١٦

٨- وحدة الدقة في التوزيع التكراري السابق هي:

الحل / يعرف بالمسافة بين الحد الاعلى لاي فئة و الحد الادني للفئة التالية

٩- اوجد الوسط الحسابي للبيانات٬ ١٠ -٦ - ٨ - ٧ - ٤

الحل/ نجمع البيانات ثم نقسم على عددها

١٠- قيمة الوسيط للبيانات: ١٠ - ٨٠ - ٩٠ - ٨٢- ٧٣ - ٦٤  يساوي:

الحل: نرتب البيانات ترتيبا تصاعديا

نبدأ باقل بيانة ١٠ - ٦٤ - ٧٣ - ٨٠ - ٨٢ - ٩٠  ثم نشطب الاطراف من اليمين بيانة ثم اليسار و نكرر الشطب حتى يتبقى خانة واحدة. لو بقي خانتان نجمعهما و نقسمهما على اثنين (اي ايجاد الوسط الحسابي لهما).في هذا المثال بقي خانتان ناتج جمعهما ١٥٣ ثم نقسمهما على ٢. الاجابة الصحيحة ج. نلاحظ ان الناتج يقع بين الخانتين الباقيتين.

١١- رتبة الوسيط في البيانات التالية: ٧ - ٨ -١٠ - ٣ - ٥ - ٢- ١١

الحل: نرتب البيانات ٢ -  ٣   -   ٥   - ٧ -  ٨ - ١٠  - ١١ . نوجد الوسيط ثم نحدد رتبته بين البيانات. ( ترتيبه) 

١٢- قيمة المنوال او المنوالات للبيانات التالية هو :

3,8,2,5,10,7,5,2,5,8,5,6,7,8,5,8,5,8,

الحل / نرتب البيانات ثم نحدد اكثر البيانات تكرارا بالنسبة لما هو جوارها من البيانات . الاجابة ج  

2,2,5,5,5,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,8,10

١٣- ايجاد الوسط الحسابي من توزيع تكراري/

 الوسط الحسابي للتوزيع التكراري التالي هو:

الحل / قانون الوسط الحسابي من توزيع تكراري

المحاضرة الثامنة / تكملة مقاييس النزعة المركزية https://youtu.be/v8Mtdv3hLv0

ناخذ اليوم اربعة مقاييس/ الوسيط٬ المئينات٬ الربيعات٬ العشيرات ( جميعها تتضح بالامثلة وبنفس القانون)

https://faculty.elgin.edu/dkernler/statistics/ch03/images/median.jpg

P99 : المئين ٩٩ يحجز تحته ٩٩٪ من البيانات و بعده ١٪ من البيانات و هكذا

تعريف PK : هو القيمة التي تحجز تحتها % K  من البيانات المرتبة و بعدها K-100% من البيانات المرتبة. حيث تاخذ K القيم من ١ و حتى ٩٩

      K= 1, 2, ... , 99  

يتضح بالامثلة

http://www.psychometric-success.com/aptitude-tests/percentiles-and-norming.htm

ولحساب اي مئين PK  من ١ الى ٩٩   نطبق القانون التالي:

حيث ان:

  = التكرار الاصلي للفئة المئينية  وهي قيمة العمود الثاني ( التكرارات )

Q1: هي القيمة التي تحجز تحتها ٢٥٪ من البيانات المرتبة و بعدها ٧٥٪ من البيانات.

Q2: هي القيمة التي تحجز تحتها ٥٠٪ من البيانات المرتبة و بعدها ٥٠٪ من البيانات.

Q3: هي القيمة التي تحجز تحتها ٧٥٪ من البيانات المرتبة و بعدها ٢٥٪ من البيانات.

لذا من قانون المئينات نستطيع حساب الربيعات Q  و الوسيط M

D1: هي القيمة التي تحجز تحتها ١٠٪ من البيانات المرتبة و فوقها ٩٠٪ من البيانات.

D2: هي القيمة التي تحجز تحتها ٢٠٪ من البيانات المرتبة و فوقها ٨٠٪ من البيانات.

...

D9: هي القيمة التي تحجز تحتها ٩٠٪ من البيانات المرتبة و فوقها ١٠٪ من البيانات.

لدينا ٩ عشيرات و لدينا ٣ ربيعات واما المئينات  ٩٩ مئين

اذا قسمنا البيانات الى نصفين حصلنا على الوسيط M فاصل واحد

اذا قسمنا البيانات الى ٤ اقسام حصلنا على الربيعات Q - عدد الفواصل ٣

اذا قسمنا البيانات الى ١٠ اقسام حصلنا على العشيرات D - عدد الفواصل ٩

اذا قسمنا البيانات الى ١٠٠ قسم حصلنا على المئينات PK  -عدد الفواصل ٩٩

يمكن ايجاد الربيعات و العشيرات و المئينات و الوسيط للبيانات المجمعة باستخدام قانون المئينات.

مثال / في التوزيع التكراري التالي اوجد ما يلي: ( الحل خطوة بخطوة - يوجد اكثر من مثال )

المئين ٦٠ (P60) -  الربيع الاول  (Q1)  - العشير الخامس  (D5)  -  الوسيط  (M)

الحل /   ١) لايجاد المئين ٦٠ نوجد اولاً  رتبة المئين ٦٠ باستخدام القانون =

نوجد الفئة المئينية: هي الفئة الفعلية التي تقابل التكرار التراكمي الذي مقداره  - ٢٢ - وهو الذي ياتي بعد رتبة المئين - ١٨ -  اذا الفئة المئينية هي 17.5  -  12.5  و الحد الادنى الفعلي للفئة المئينية يكون هو a و تكرارها  

N1 هو التكرار التراكمي الذي يسبق رتبة المئين

ملاحظة لحساب ∆: باستخدام الفئة  ٣ الى ٧ .  اوجد ∆        ٧ - ٣ + ١ = ٥

حيث ان الواحد هو فئة الدقة.

في الفئات العادية نلاحظ فرق بمقدار وحدة دقة بين الحد الاعلى لاي فئة و الحد الادنى للفئة التالية.

المئين ٦٠  هو  ١٥.٥ والتي تحجز تحتها ٦٠٪ من البيانات وبعدها ٤٠٪ من البيانات.

٢) ايجاد الربيع الاول Q1  وهو المئين ٢٥   P25

لايجاد الربيع الاول و الذي هو المئين ٢٥ نوجد اولاً  رتبة المئين ٢٥ باستخدام القانون

الفئة المئينية تقع بعد رتبة المئين والذي قيمته 7.5وتكرارها التراكمي١٢ وهي 12.5 - 7.5 وحدها الفعلي الادني هو a

Q1=P25=

معنى ذلك ان القيمة Q1=9.286  تحجز تحتها ٢٥٪ من البيانات و بعدها ٧٥٪ من البيانات.

٣) العشير الخامس D5  الذي هو P50  :  

لايجاد المئين ٥٠ نوجد اولاً رتبة المئين ٥٠ باستخدام العلاقة التالية

اذا الفئة المئينية هي 17.5  -  12.5  نعوض حدها الفعلي الادني بقيمة a

D5=P50=

10 في المقام هي التكرار و نحصل عليها من عمود التكرارات

١٤ تحجز تحتها ٥٠٪ من البيانات و بعدها ٥٠٪ من البيانات.

4) الوسيط M M=D5=P50=14   تم ايجاده اذ انه يساوي المئين ٥٠ و العشير الخامس

المحاضرة التاسعة لفصل سابق   -   https://youtu.be/C1Md2VoSqhI 

لو اعطيت بيانات مجمعة كما في الجدول التالي٬ اوجد الوسيط ٬ D2 ٬ Q3 ٬ P90 

اولاً نضيف عامود الفئات الفعلية٫ و عامود التكرار المتجمع.

ايجاد الوسيط : الوسيط هو المئين ٥٠ ولايجاد المئين ٥٠ نوجد اولاً  رتبة المئين ٥٠ باستخدام القانون  

الفئة المئينية هي ١٤.٥ - ١٩.٥ وهي التي تقع مقابل التكرار المتجمع التالي بعد رتبة المئين

وجدنا رتبة المئين تساوي احد التكرارات المتجمعة لاحد الفئات٬ فيكون المئين ٥٠  هو الحد الفعلي الاعلى للفئة المئينية=     ١٩.٥ فيكون الوسيط هو  =i 19.5وهو كذلك المئين ٥٠

الان نوجد المطلوب التالي/ D2=P20 =

لايجاد المئين ٢٠ نوجد اولاً رتبة المئين ٢٠ باستخدام القانون وهي تساوي ٨

ننظر الى التكرار المتجمع الاعلى من ٨ و هو ١٠  تكون الفئة المقابلة له هي الفئة المئينية وهي ٩.٥ - ١٤.٥

a= 9.5                 Δ=5                         N1=3                         = 7

P20= 13.07 تحجز هذه القيمة تحتها ٢٠٪ من البيانات و بعدها ٨٠٪ من البيانات

لو وجدنا رتبة المئين قبل ٣ في هذا المثال فما هو التكرار المتجمع الذي يسبق هذه الرتبة؟ التكرار المتجمع الذي يسبقها هو صفر

نوجد المطلوب التالي/ Q3 = P75 

لايجاد المئين ٧٥ نوجد اولا رتبة المئين ٧٥ وهي تساوي ٣٠

ننظر الى التكرار المتجمع الاعلى من رتبة المئين ٣٠ و هو ٤٠  و المقابل للفئة الفعلية  ٢٤.٥ - ٢٩.٥ وتكون هي الفئة المئينية. ومنها نحدد قيمة a

a=24.5                 Δ=5                         N1=25                         = 15

يتم ايجاد الناتج باستخدام الالة الحاسبة.

المطلوب التالي/ P90

لايجاد المئين ٩٠ نوجد اولاً رتبة المئين ٩٠ باستخدام القانون والتي وجد انها تساوي ٣٦

 ننظر الى التكرار المتجمع الاعلى من ٣٦ و هو ٤٠  تكون الفئة المقابلة له هي الفئة المئينية وهي ٢٤.٥ - ٢٩.٥

a=24.5                 Δ=5                         N1=25                         = 15

يتم ايجاد الناتج باستخدام الالة الحاسبة.

تابع مقاييس النزعة المركزية

 الوسط المرجح / تعريفه : اذا كان لدينا مجموعتين أ و ب وكان الوسط الحسابي للمجموعة أ هو 1 و عدد افراد المجموعة أ هو n1 ٬ كذلك الوسط الحسابي للمجموعة ب هو 2  و عدد افراد المجموعة ب هو n2 ٬ فان الوسط الحسابي للمجموعتين اثر دمجهما هو

مثال/ لدينا فصلين شعبة ١ و شعبة ٢ و اعطينا الاوساط الحسابية و عدد الطلاب كما في الجدول. واجد الوسط المرجح

في الوسط المرجح يكون لدينا عدة مجموعات .المعطيات تكون الوسط الحسابي للمجموعات و عدد افراد كل مجموعة و يكون السؤال عن الوسط الحسابي ( المرجح ) ولا يشترط ذكر المرجح في السؤال اذ لدينا مجموعتين تم دمجهما.

المنوال التقريبي من توزيع تكراري/ هو مركز الفئة الاكثر تكرارا بما يجاورها من تكرارات.

هنالك منوال اكيد و حقيقي ولكنا هنا نعطي المنوال تقريبي للاختصار. لان له قانون اخر.

نحسب المنوال التقريبي لاي مركز من مراكز التوزيع التكراري.

مثال/ احسب المنوال او المنوالات من التوزيع التكراري التالي:

اما ان نوجد مركز الفئة للفئات الاكثر تكرارا و نوجد الناتج مباشرة

مقاييس النزعة المركزية تستخدم لوصف البيانات.

تمرين /من الجدول التكراري في نهاية المحاضرة الرابعة لدينا علامات ٥٠ طالب. ما العلامة التي تحدد اعلى ١٠٪ من الطلبة؟ ما العلامة التي تحدد الوسيط لدرجات الطلاب؟ ماهي العلامة التي تحدد اقل ١٠٪ من الطلاب؟

تدريب للمحاضرة القادمة/

قيمة المدى للتوزيع التالي هي / الاجابة: المدى = الحد الفعلي الاعلى للفئة الاخيرة - الحد الفعلي الادني للفئة الاولى

وهنالك طرق اخرى لحساب المدى.

المحاضرة التاسعة / مقاييس التشتت       https://youtu.be/bvem3pUxypw

١) المدى Range

للبيانات المفردة: المدى للبيانات المفردة هو اكبر مشاهدة - ناقص اصغر مشاهدة

للبيانات المجمعة : كما يحسب من توزيع تكراري باكثر من طريقة

المدى = الحد الفعلي الاعلى للفئة الاخيرة - الحد الفعلي الادنى للفئة الاولى

المدى = مركز الفئة الاخيرة - مركز الفئة الاولى

المدى = الحد الاعلى للفئة الاخيرة - الحد الادنى للفئة الاولى

مثال على حساب المدى: احسب المدى للتوزيع التكراري التالي:

في حالة وجود قيم شاذة بين البيانات فإن حساب المدى لا يعطي معنى حقيقي و وصف دقيق للبيانات لذلك نلجأ لحساب المدى المئيني و المدى الربيعي كما يلي:

1. المدى المئيني= المئين ٩٠ - المئين ١٠           اي نزيل ١٠٪ من الطرفين

=P90-P10

2. المدى الربيعي IQR = الربيع الثالث - الربيع الاول

=Q3-Q1

الان مقياس تشتت اخر.

حتى يكون الوصف للبيانات ادق نحسب بعدها عن الوسط الحسابي فكل ما كان البعد اكبر كان التشتت اكبر و العكس ان كان البعد اقل كان التشتت اقل.

٢) التباين variance و رمزه S2  وهو اهم مقاييس الاحصاء / تعريف التباين للبيانات المفردة  x1x2,.....xn  هو

كما و يُحسب من توزيع تكراري /

حيث : xi : تمثل مراكز الفئات في التوزيع التكراري

: الوسط الحسابي لتوزيع تكراري

n : هو مجموع اف اي  مجموع التكرارات         اي

حيث h:  عدد الفئات

Fi : تمثل التكرارات المقابلة لكل مركز فئة

من المعروف في الاحصاء المعلومة التالية/ اذا اردنا ان نجد مجموع بُعد البيانات عن الوسط الحسابي فهذا يساوي صفر لان الوسط الحسابي يوجد في المركز وبعده ١ عن جميع البيانات. فاذا اخذنا الفارق بين كل بيانة و الوسط الحسابي و جمعناهم فهذا يساوي صفر

الان المطلوب حساب بعد البيانات عن الوسط الحسابي/ بهذه القاعدة يكون الجواب صفر

قال العلماء/ لو اخذنا التربيع لن نحصل على صفر.

هنالك بيانات موجبة و سالبة٬ نفس القيمة لكن مختلفين في الاشارة٬ اذا اخذت التربيع ابعدت اشارة السالب و استطيع ان احسب معدل تباعد هذه البيانات عن الوسط الحسابي وهذا اوجد لنا التباين - قانون التباين -

٣) الانحراف المعياري standard deviation / تعريف: الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين.

مثال/ احسب التباين و الانحراف المعياري للمشاهدات ٢ - ٥ - ٣ - ٧ - ٤  

الحل : من القانون: يجب ان نجد الوسط الحسابي و مجموع تربيع كل بيانة

xi2   = (2)2+(5)2+(3)2+(7)2+(4)2 = 103     مجموع مربع البيانات  

ثم نحسب الانحراف المعياري: الجذر التربيعي الموجب للتباين

مثال على حساب التباين للبيانات المجمعة: احسب التباين و الانحراف المعياري للتوزيع التكراري التالي/

الحل: نستخدم القانون لايجاد S2: يجب اولاً ان نوجد الوسط الحسابي لنعوضه في القانون/

ملاحظة h لا يساوي n ٫لأن h هو عدد الفئات

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين

حتى الان اخذنا ٣ مقاييس من مقاييس التشتت المدي - التباين - الانحراف المعياري -  التي تعتبر من اهم المقاييس

٤) الانحراف المتوسط/ M.D   Mean Deviation و يمكن حسابه من بيانات مفردة او من توزيع تكراري

تعريف/ الانحراف المتوسط للبيانات المفردة  x1,....,xn  هو

ويحسب الانحراف المتوسط من توزيع تكراري كما يلي:

حيث ان

  مثال/ اوجد الانحراف المتوسط للبيانات التالية  ٤ - ٧  -  ٥  - ٣ -  صفر  

الحل/ نوجد الوسط الحسابي   للبيانات المفردة وهو  ٣.٨  ثم نعوض في القانون ( انظر الجدول التالي)

المحاضرة العاشرة / تتمة مقاييس التشتت  https://youtu.be/MuzkgMCzp1A

بعد ايجاد الانحراف المتوسط من بيانات مفردة اوجد الانحراف المتوسط من التوزيع التكراري السابق:

٥) معامل التغير coefficient of variation CV : يعتبر افضل مقياس يمكن ان للباحث ان يستخدمه٬ يعتمد على مقياسين داخل هذا المقياس٬ احدها مقياس النزعة المركزية وهو الوسط الحسابي و مقياس من مقاييس التشتت وهو الانحراف المعياري وهما مقياسان هامّان لذى يعطينا افضل قيمة من مقاييس الاحصاء. الوسط الحسابي يعطينا مركز البيانات و مقياس الانحراف المعياري يعطينا التشتت في البيانات عن وسطها الحسابي. كلما زادت قيمة الاس زادت قيمة معامل التغير و كلما زاد الاكس بار قلت قيمة معامل التغيير.

تعريف/ معامل التغيير لاي بيانات  - مفردة او من توزيع تكراري - هو

حيث ان S الانحراف المعياري و  الوسط الحسابي

مثال/ لو كان لدينا الاحصائيات التالية التي تمثل مجموعتين هي مايلي: اي من المجموعتين اكبر تغيراً ؟

حل لبعض مسائل النزعة المركزية و مقاييس التشتت

مثال اخر /  احسب التباين ٬ الانحراف المعياري ٫ الانحراف المتوسط  للتوزيع التالي:

التباين  S2 / بعد ايجاد الوسط الحسابي من التوزيع التكراري نعوض في القانون

الانحراف المعياري/ هو الجذر التربيعي الموجب للتباين  ( جذر اس سكوير )

الانحراف المتوسط /

معامل التغير/ C.V 

المحاضرة المباشرة الثانية ١٤٣٨ https://youtu.be/-iBOavQOJSc

اعمدة التوزيع التكراري

التكرار التراكمي هو كم بيانة اقل من الحد الفعلي الاعلى و نحتاجه لسحاب المئينات و الربيعات و العشيرات

التكرار النسبي نقسم كل تكرار فئة على مجموع التكرارات و مجموع التكرارات هو ١ صحيح دائما

مثال/ اذا اعطيت البيانات المفردة - وهي البيانات الخام غير المجمعة -   ١٠  -  ٦  - ٨  -  ٧  - ٤

احسب الوسط الحسابي 

             =  

الوسط الحسابي هو احد مقاييس النزعة المركزية

اوجد الوسيط و رتبة الوسيط للبيانات المفردة التالية  ٦٤ -  ٧٣  -  ٨٠  - ٩٠  - ٨٠  -  ١٠

الحل/ نرتب البيانات ثم نشطب من اليسار و اليمين حتى يتبقى بيانة تكون هي الوسيط او بيانتين و الوسيط يكون الوسط  الحسابي لهما

. 10 , 64 , 73 , 80 , 80 , 90        M= = 76.5

رتبة الوسيط هي

        =

 لو كان عدد البيانات ٧ لكانت رتبة الوسيط هي ٣،٥ اي ٤

اوجد رتبة الوسيط للبيانات التالي ١١- ٢ - ٥  - ٣  - ١٠  - ٨ - ٧

نرتب البيانات ونشطب من اليمين و اليسار

2 , 3 , 5 ,  7 , 8 , 10 , 11         M=7                  رتبة الوسيط هي ٤  

مثال/ اعطينا التوزيع التكراري التالي  احسب الوسيط و الربيع الاول Q1

الوسيط هو المئين ٥٠ و و لايجاده نوجد اولا رتبة المئين ٥٠  وهي ١٠

وجدنا رتبة المئين ٥٠ احدى التكرارات التراكمية و تكون قيمة المئين ٥٠ الحد الفعلي الاعلى للفئة وهو ٩.٥

الربيع الاول هو المئين ٢٥ و رتبة المئين ٢٥ هي ٥  وتكون الفئة المئينية هي الفئة التي تقابل التكرار التراكمي الذي يلي ٥ وهي  4.5-9.5 حدها الفعلي الادني هو a  نعوض في القانون و الاجابة هي ٧

a=4.5                 Δ=5                         N1=0                         = 10

مثال على مقاييس التشتت لبيانات مفردة  / اذا اعطينا البيانات ١٠ - ٧ - صفر - ٢ - ٤ - ١ - ٦ -  ١٠

اوجد التباين و الانحراف المعياري و معامل التغير .

١- الوسط الحسابي = ٥

٢- التباين S2 = 15.143

٣- الانحراف المعياري S = 3.89

٤- معامل التغير C.V = 77.8%

معامل التغير / نسبة تغير البيانات بنسبة ( سرعة ) ٧٧.٨٪

مثال/ احسب الانحراف المتوسط للتوزيع التالي  - القانون في المحاضرة التاسعة

يجب اولاً ايجاد الوسط الحسابي وهو ٧  و الانحراف المتوسط لهذا التوزيع هو ٢.٨

مثال/ احسب التباين S2 من الجدول التكراري السابق: الاجابة   ١١.٥٧٩

الانحراف المعياري S هو الجذر التربيعي الموجب للتباين

المحاضرة الحادية عشرة  https://youtu.be/ER0g58087rw

الارتباط و الانحدار

الارتباط :هو معنى في حالة وجود متغيرين او بعدين و الذين نرمز لهما بالرموز x,y . حيث x  تشير الى متغير معين٬ و y تشير الى متغير اخر. هل هنالك قوة ارتباط ام لا. هل اكس تؤثر علي واي.

امثلة:

١) دراسة هل هنالك تاثير في علامة الطالب في الثانوية العامة على علامته في الجامعة.

• البيانات في هذه الدراسة سوف تكون على شكل ازواج مرتبة.

مثال: مدى تاثير الطول على الوزن وهل هنالك علاقة بينهما؟

تكون البيانات على شكل ازواج مرتبة اي (x1,y1),(x2,y2),........,(xn,yn) حيث n هي عدد الاشخاص في العينة.

لوحة الانتشار: هي عبارة عن خطين متعامدين محور x و محور y .

اول اداة هي لوح الانتشار وهي مؤشر اولي و بسيط لمعرفة اذا كان هنالك علاقة.

بزيادة إكس تزيد واي - طردي -

يقل إكس عندما تزيد واي- عكسي-

(nb. the nearer the value is to zero, the weaker the relationship).    https://www.mathsisfun.com 

مثال/ رسم لوح الانتشار للبيانات                                                    

اقول ان الارتباط في a  اقوى من الارتباط b .

لمعرفة قوة الارتباط الخطي بين المتغير المستقل x و المتغير التابع y ٬ نستخدم احدى المعاملان التاليين:

١- معامل ارتباط بيرسون ( يتاثر بالقيم الشاذة بشكل سريع)

٢-معامل ارتباط سبيرمان للرتب ( متين لا يتاثر بالقيم الشاذة ) لانه يعتمد الرتب لا البيانات. و  هذا يجعله الاقوى.

البيانات الشاذة هي التي لا تشابه مجمل البيانات.

١- معامل ارتباط بيرسون

تعريف: معامل ارتباط بيرسون للبيانات (x1,y1),(x2,y2),........,(xn,yn) هو:

n : عدد الازواج المرتبة

مثال اوجد معامل الارتباط بيرسون بين المتغيرين x,y   حيث تكون القيم كما في الجدول التالي:

الحل/ نوجد المطلوب للتعويض في القانون

= 5  = 4

 = = 0.62

وصف هذا الارتباط بين x,y  هو ارتباط خطي موجب 

تمرين من خارج الكتاب/ اوجد معامل ارتباط بيرسون للازواج المرتبة التالية : الاجابة 0.349-

(10,7),(18,8),(22,2),(3,9),(6,6),(5,3)  Σxy=2782 ,Σx2=41161 , Σy2= 243 , n=6

http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/      ادخل الارقام هنا للتحقق - او استخدم اكسل

٢- معامل ارتباط سبيرمان للرتب

تعريف: معامل ارتباط سبيرمان للرتب للبيانات  (x1,y1),(x2,y2),........,(xn,yn) هو

rs= 1-

حيث:        n : عدد الازواج المرتبة                       di : الفرق بين رتب x  و رتب y ب

d = رتب x - رتب y

ملاحظة : يستخدم هذا المعامل عادة في حالة ان n بين ٢٥ و ٣٠ لصعوبة الترتيب.

مثال/احسب معامل ارتباط سبيرمان للرتب بين المعدلات التالية لعشرة طلاب في الشهادةالثانوية والفصل الجامعي الاول:

الحل/                 المحاضرة الثانية عشرة/ تابع الارتباط و الانحدار   https://youtu.be/vV4ItgMMCDo

نعطي رتبة لكل قيمة من قيم x و y بحيث نرتب قيم x فيما بينها و قيم y فيما بينها٬ بحيث نعطي القيم الاكبر رقم ١ كرتبة و القيمة التي تليها نعطيها ترتيب ٢ و هكذا …