El número (“pi”)

¿Qué es ? O también, ¿qué es “pi”? ¿Qué quiere decir? ¿Por qué se escribe así: ?

¿Por qué tanta reverencia y tanta fama?

Estoy seguro de que escuchó hablar muchas veces de como de un número y se debe de haber preguntado (y seguirá preguntándose): ¿Qué número? ¿Cómo un número? ¿De qué hablan los que hablan de?

Y habrá seguido: los números que conocemos son los que usamos todos los días: 1, 2, 3,..., 173, 1 millón, etc. O, en todo caso, los números racionales que también usamos (llamados fracciones o quebrados), como 1/2, 1/4, 2/3, 7/8, 5/3,..., etc. Creo que me entiende.

¡Ésos son los números! Por eso, otra vez insisto con la pregunta: ¿de qué hablan los que hablan de?

Acompáñeme para poder descubrir qué lo hace tan atractivo, por qué se llama así, por qué es un número...

Uno podría plantear: si es un número –como todos dicen–, ¿por qué no es uno de los que usamos todos los días?, ¿qué es lo que uno debería saber de y no sabe? Venga conmigo.

Suponga que ahora entramos juntos a un museo, donde o “pi” está siendo exhibido como atracción principal.

Para iniciar el trayecto, necesito que consigamos algunos objetos circulares o cilíndricos (de esos que, cuando se los corta transversalmente, se obtiene un círculo). Por ejemplo, una moneda cualquiera, una lata de bebida gaseosa, un tarro de pintura, un plato, un vaso en forma de cilindro, una botella de cerveza, etc. Necesito también que tenga una cinta métrica, como las que usan los carpinteros o las modistas.

Ahora haga lo siguiente con cada objeto que consiguió:

a) Mida el diámetro de cada objeto y anote en una tabla los resultados.

b) Tome ahora la cinta métrica y enrósquela alrededor del objeto. Al hacer esto, usted está midiendo la circunferencia. Luego, anote los resultados en la tabla.

c) Por último, escriba en un papel los siguientes datos: en la primera columna, el objeto; en la segunda, el diámetro; en la tercera, la circunferencia que midió, y finalmente, en la cuarta columna, haga el siguiente cálculo: divida la medida de la circunferencia del objeto por el diámetro.

Mire los resultados que obtuvo, ¿puede sacar alguna conclusión? ¿Está sorprendida/o? ¿No le llama la atención?

Seguramente, habrá advertido que algo está presente en todos los cálculos... algo así como una constante. Dicho de otra forma, parecería que hay un número que se repite en todos los casos.

¿Será así? Antes de sacar más conclusiones, haga ahora un nuevo experimento: busque otros objetos circulares.

Mídales el diámetro. Pensando en lo que “dedujo” más arriba, ¿se atreve a predecir cuánto mide la circunferencia?

Acá le pido un favor: no siga leyendo. Desde luego, haga lo que prefiera, pero creo que vale la pena que primero complete las pruebas propuestas más arriba, hasta que se sienta satisfecha/o y con la seguridad de haber entendido.

Por supuesto, más allá de predecir lo que tendría que pasar, la/lo invito a que después corrobore que lo que predijo es cierto, y la única manera posible es midiendo. Una vez que lo haya hecho, podrá deducir si lo que conjeturó es válido o no.

Ahora sí, un paso más: lo maravilloso es que no importa qué objeto circular usted elija, del tamaño de una naranja o de todo el planeta, siempre, si uno mide la circunferencia y el diámetro y averigua el cociente, el número que resulta ¡es constante! Ese número es el que llamamos .

P virtualmente ha enloquecido a todos los que han intentado abordarlo durante miles de años. Y digo “enloquecido” en el sentido más fino y atractivo de la palabra. Gran cantidad de gente a lo largo de la historia ha querido domarlo, conocerlo, develar sus misterios... y si bien se conocen muchísimas de sus propiedades, todavía queda otro tanto por descubrir.

Es que p tiene una fortaleza tremenda y una ubicuidad asombrosa. Aparece en los lugares más impensados, que en apariencia no guardan ninguna relación entre sí, y resulta totalmente impredecible.

Para empezar, vayan algunos datos:

1) Los primeros números del desarrollo decimal de p son: 3,14159...

2) es un número irracional (en el sentido de que no es posible obtenerlo como cociente de dos números enteros). Johann Lambert probó este hecho en 1761.

3) es, además, un número trascendente, es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Debido a esto, se sabe que no puede escribirse como ninguna combinación finita de números enteros y/o de sus raíces (una clase aún más privilegiada dentro de los irracionales). Ferdinand Lindemann lo demostró en 1881.

4) Justamente, el hecho de que sea trascendente hace imposible lograr la cuadratura del círculo. ¿Qué quiere decir esto? Que si usted tiene un círculo cualquiera no es posible construir con regla y compás (no existe, ni podrá existir) un cuadrado cuya área sea igual a la del círculo. Estos dos hechos parecen desconectados, pero quien los une es la propia matemática.

5) En 1647 aparece por primera vez en la literatura la letra griega (que sería el equivalente de nuestra letra “p”) representando el número que nos ocupa. La introduce William Oughtred, que usa otra letra del mismo alfabeto, nuestra “d”, junto con la “p”: p.d.

Oughtred usó esa combinación para indicar el “perímetro-diámetro”. Sin embargo, el primero que empleó la letra como símbolo para representar el número 3,14159... fue William Jones en 1706, en Synopsis Palmariorum Matheseos.

Y luego llegó Leonard Euler, el matemático suizo, y la hizo popular para siempre.

6) El desarrollo del número sigue así: 3,1415926535...

Durante muchos años, generaciones enteras se entretuvieron buscando la mejor manera de aproximar el número p como cociente de dos números enteros. Las que más trascendieron, y por lo tanto las más conocidas, son:

i.     22/7 = 3,142857142... (que coincide en los primeros dos decimales)

ii.    33/106 = 3,141509433... (que coincide en los primeros cuatro decimales)

iii.   355/113 = 3,1415929203... (en este caso, coinciden las primeras seis cifras decimales)

7) tiene infinitas cifras decimales, que no se repiten, no siguen un patrón. A través de la historia, los matemáticos de todas las épocas dedicaron mucho tiempo a la esperanza de determinarlas todas (o de predecirlas todas, como uno puede hacer con un número racional); por supuesto, sin éxito.

8) La Biblia contiene dos referencias al número y en ambas se menciona que es igual a 3. Sin embargo, los antiguos egipcios, árabes y hebreos solían darle a (aunque no usaran ese nombre) un valor que era un poco mayor que 3.

9) Como escribí más arriba, lo más conocido sobre el número involucra la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia de diámetro d: Longitud = · d

Pero, por otro lado, el número aparece al calcular la superficie de un círculo o el volumen de una esfera.

El área de un círculo de radio r se obtiene así: · r2

Y el volumen de una esfera de radio r, así: (4/3) · r3

10) Aunque parezca increíble, hay un día conocido como “día del número ”. Esto sucede todos los 14 de marzo ya que, usando la notación que escribe primero el mes y después el día, y si uno acepta el número 3,14 como aproximación de , entonces el 3/14 o el 3-14 significa marzo 14. Esto sucede desde 1988, cuando el físico Larry Show, conocido como el “Príncipe de Pi”, propuso instaurarlo, y la sugerencia fue aceptada por una buena parte del mundo.

11) De todas formas, más allá de la curiosidad por tener la mayor cantidad de cifras decimales posibles, el astrónomo norteamericano Simon Newcomb aseguró que con diez de ellas sería suficiente para calcular la circunferencia de la Tierra con un error menor a un centímetro.

12) La idea de que “pi” estaba solamente ligado a circunferencias y círculos duró hasta el siglo XVII, cuando se empezaron a estudiar otras curvas (hipocicloides, catenarias, braquistócronas, por poner algunos ejemplos) y  se descubrió que, al calcular las áreas relacionadas con ellas, también involucraban el número p.

13) Un poco más acá en el tiempo, “pi” termina su contrato de exclusividad con la geometría y aparece ligada a otras ramas de la matemática: números complejos, teoría de números, probabilidades y estadísticas, series numéricas. Por último, como uno no se va a pasar la vida midiendo circunferencias y diámetros de objetos circulares para poder calcular , lo invito a recorrer un par de caminos que conducen a p y que no son necesariamente los más conocidos.

Paenza, Adrián   "Matemática… ¿estás ahí? la vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias"   (2010)   Buenos Aires: Siglo XXI Editores, p. 82.