PS2316 - Sistemas de Control II

Curso septiembre - diciembre 2011

1er parcial

Gabriel J. Benitez A.

# 03-35676

Pregunta 1 (14 ptos): Considere el sistema

Calcule un controlador, primero por el método del lugar de las raíces y luego por el método de loop shaping que asegure que el sistema a lazo cerrado siga perfectamente señales escalón (cambios estacionarios en la referencia), que responda en alrededor de 1 segundo con un sobrepico menor del 20%.

Solución Pregunta 1

Lugar Geométrico de las Raíces:

Primero transformamos las especificaciones requeridas en un polo dominante ‘p’:

     Despejando  obtenemos que:

 Despejando  obtenemos que

Luego, tenemos que  y de esta manera obtenemos:

Ahora, para que se cumpla el seguimiento perfecto de señales escalón, tenemos que incluir en el controlador un polo en el origen, con el cual el sistema tendría la siguiente función de lazo abierto:

Con esta nueva función verificamos si el polo dominante requerido ‘p’, pertenece al LGR. Para esto se debe cumplir que:

De esta ecuación obtenemos que ‘p’ no pertenece al LGR ya que:

Por lo tanto necesitamos un controlador en adelanto que sume 138.144°, pero además incluimos un margen de error de entre 5 y 10°, por lo que nuestro controlador tendrá que sumar aproximadamente 148°. Debido a que es imposible colocar un cero que sume ese ángulo dentro del semiplano izquierdo, colocaremos un cero doble donde cada uno sume la mitad del ángulo requerido, por lo tanto buscamos el sitio donde debe ubicarse un cero que sume 72°.

Este valor lo hayamos trigonométricamente, ya que conocemos el ángulo y la altura de ‘p’, por lo tanto tenemos que:

Luego, despejando x de la ecuación tenemos que x=2.537, por lo tanto, el polo estará ubicado en -6.537. Por lo tanto:

Verificando la pertenencia del sistema al LGR tenemos:

Luego podemos asumir que ‘p’ se encuentra en en el LGR. Solo falta incluir la ganancia del controlador que ubique el polo dominante del sistema en ‘p’. Para verificar esto, debe cumplirse la siguiente ecuación:

Evaluando la ecuación el s=p tenemos que:

Por lo tanto, debemos incluir una ganancia Kc tal lleve dicho resultado a 1. Luego tenemos que Kc=1,25. Ahora tenemos como FTLA:

Loop Shaping:

Primero transformamos las especificaciones requeridas en un margen de fase y en un cruce de ganancia por cero:

Ahora, sabemos que debemos incluir un polo en el origen para que el sistema siga perfectamente las señales de tipo escalón. Luego de esto verificamos el cruce de la ganancia por cero y con este que se cumpla el tiempo de estabilización.

Para el sistema dado por la siguiente función tenemos un MG=9,37dB, MF=26,83° y wc=1.102rad/s.

Luego, para wc real tenemos un Ts=5,131s. Ahora, llevamos el wc hasta el valor requerido incluyendo una ganancia que subirá la gráfica de ganancia del Diagrama de Bode y de esta manera, subirá el wc y por consiguiente se reducirá el Ts.

0.030

Llevamos ese valor de ganancia a dB y tenemos el valor que deberá subir a la gráfica de ganacia la ganancia K:

Luego, la ganancia K =33,08

Ahora, calculamos el nuevo MF, MG y wc del sistema con el controlador:

.

MF=-21.021 dB, MG=-44.70°, wc=5.655 rad/s

Ahora resolvemos el sistema de las siguientes ecuaciones para hayar el polo y cero que debemos incluir para llevar el MF al valor requerido, MF=45,6°:

De un cálculo iterativo usando el SOLVESYS de la HP se obtiene:

Luego, el controlador necesario para cumplir los requerimiento del sistema es:

Pregunta 2 (6 ptos): Considere el sistema

Calcule un controlador que asegure rechazo perfecto de perturbaciones tipo escalón por la carga (cambios estacionarios que entran igual que la señal de control) y un error de velocidad menor del 10%. Justifique su respuesta.

En ambas preguntas al sistema se la incluirá en un lazo realimentado de la forma

Solución Pregunta 2

Este sistema ya rechaza perfectamente perturbaciones de tipo escalón debido a que posee un polo en el origen.

Respecto al error de velocidad, lo calculamos a continuación tal que:

Luego, para llevar este error al valor requerido debemos incluir un cero y un polo que cumplan la siguiente relación:

Luego, colocamos el cero en 1 y el polo en 0.1, por lo tanto, tenemos el siguiente controlador:

De esta manera verificamos que se cumpla el error requerido: