Introducción

Aproximadamente la tercera parte de los problemas de la olimpiada de matemáticas son de geometría. No es extraño entonces que los alumnos que logran dominar esta área tienen muchas posibilidades de tener mejores resultados en las competencias. En estas notas presentamos algunos problemas y temas iniciales de geometría.

Congruencia de triángulos

Criterios para demostrar la congruencia (igualdad) de dos triángulo. Decimos que dos triángulos son "congruentes" cuando sus tres lados son iguales y sus tres ángulos son iguales. De manera intuitiva podemos pensar que uno de ellos es una copia perfecta del otro. Ya en la secundaria se aprenden tres criterios diferentes para demostrar que dos triángulos son congruentes. Estos son lado-lado-lado (LLL), lado-ángulo-lado (LAL), ángulo-lado-ángulo (ALA). Los mencionamos a continuación brevemente a pesar de que suponemos que no son nuevos para la mayoría de los concursantes.

Criterio LLL. Sean ABC, DEF dos triángulos. Supongamos que sus lados son iguales por parejas, es decir, AB=DE, BC=EF, CA=FD. Si lo anterior es cierto podemos deducir que ambos triángulos son congruentes. A consecuencia de esto sus ángulos son también iguales por parejas...

∠ABC=∠DEF, ∠BCA=∠EFD, ∠CAB=∠FDE.

Criterio LAL. Sean ABC, DEF dos triángulos. Supongamos que dos de sus lados son iguales por parejas, es decir, AB=DE, BC=EF y que el ángulo que esos lados forman es también igual, es decir ∠ABC=∠DEF. Con esta información podemos deducir que los triángulos son congruentes. Como consecuencia de esto tenemos que el lado restante y los otros dos ángulos también son iguales...

CA=FD, ∠BCA=∠EFD, ∠CAB=∠FDE.

Criterio ALA. Sean ABC, DEF dos triángulos. Supongamos que uno de sus lados es igual, es decir, AB=DE y que las dos parejas de ángulos que esos lados abarcan también son iguales, es decir ∠ABC=∠DEF, ∠BAC=∠EDF. Con esta información podemos deducir que los triángulos son congruentes. Como consecuencia los lados restantes y el otro ángulo también son iguales...

CA=FD, BC=EF, ∠BCA=∠EFD. 

Triángulos y ángulos

La siguiente figura representa el principal resultado conocido sobre ángulos y paralelas. Si se tienen dos rectas paralelas que son cortadas por una tercera recta los ángulos indicados en la figura con símbolos iguales son iguales. 

Cuando necesitemos referirnos a este resultado le llamaremos "ángulos entre paralelas".

A partir de este resultado, no es muy difícil llegar a la conclusión de que la suma de los ángulos internos (dentro) de un triángulo equivale a un ángulo de 180° (ángulo llano).

Consecuencia directa de este resultado es que el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos. La siguiente figura presenta visualmente este resultado.

Debemos notar que se pueden trazar ángulos externos fuera de cada ángulo interno.

Uno de los resultados más conocidos de geometría es el teorema de Pitágoras. Este nos asegura que los lados de un triángulo rectángulo (uno de sus ángulos de 90°) satisfacen la condición de Pitágoras. La suma de los cuadrados de los catetos (lados menores) es igual al cuadrado de la hipotenusa (lado mayor).

El resultado vale también "de regreso", es decir, podemos demostrar que un triángulo es rectángulo si podemos deducir la condición de Pitágoras.

Problemas 

Construcciones con regla y compás

Sabemos por experiencia que una de las dificultades con los problemas de geometría es la falta de habilidad para hacer figuras claras. El tema de construcciones con regla y compás será de gran ayuda para hacer buenas figuras además de que resulta ser una manera muy práctica de iniciar con el pensamiento geométrico. Para iniciar con el tema será necesario que el alumno cuente con una regla recta y un compás (las escuadras no son permitidas).

Construir figuras con regla y compás es como un juego donde hay 6 reglas.

Regla 1: Teniendo dos puntos A, B puede trazarse una recta que pase por ambos puntos usando la regla.

Regla 2: Teniendo dos puntos A, B puede trazarse una circunferencia con centro en A y radio AB usando el compás.

Regla 3: Teniendo dos rectas que no sean paralelas se puede marcar el puntos de intersección de ellas.

Regla 4: Dadas una recta y una circunferencia puedes trazarse los puntos de intersección (si es que existen).

Regla 5: Dadas dos circunferencias pueden trazarse los puntos de intersección (si es que existen).

Regla 6: Se puede elegir un punto arbitrario (un punto no específico) ya sea en una recta existente, en una circunferencia existente o en el plano.

Usando las seis reglas para construcciones con regla y compás construir lo que se pide.

1. Teniendo dos puntos A, B construir un punto C de forma que B sea el punto medio del segmento AC.
2. Teniendo dos puntos A, B construir un punto C de forma que ABC sea un triángulo equilátero.
3. Teniendo dos puntos A, B trazar el punto M que sea el punto medio del segmento AB.
4. Dada una recta m y un punto P en ella, trazar una recta perpendicular que pase por el punto P.
5. Dados dos puntos A, B construir dos puntos C, D de forma que ABCD sea un cuadrado.
6. Dada una recta y un punto fuera de ella, trazar una recta perpendicular que pase por el punto.
7. Dadas dos rectas construir una tercera recta que divida a la mitad el ángulo formado por las dos primeras rectas.
8. Dado un segmento AB y un punto P construir un punto Q de forma que PQ sea igual y paralelo al segmento AB.
9. Dado un triángulo ABC, una recta m y un punto P en esa recta. Construir un triángulo PQR que sea congruente con el triángulo ABC.