ベクトルの一次変換

　ベクトル空間 $\mathrm{\vec{V}}=\mathrm{\vec{V}}_n$ における一次変換 $\mathrm{A}$ によって， $\mathrm{\vec{V}}$ の

次元の部分空間 $\mathrm{\vec{V}}'$ の任意のベクトルが $\mathrm{\vec{V}}'$ のベクトルに変換されるとき，つまり $\mathrm{\vec{V}}'$ に属するベクトルは変換 $\mathrm{A}$ によってその中だけで変わり， $\mathrm{\vec{V}}'$ から外に出ることがないとき，‘ 変換 $\mathrm{A}$ は部分空間 $\mathrm{\vec{V}}'$ を不変にする’ という．この場合， $\mathrm{\vec{V}}'$ の基底 $\mathrm{\vec{e}}_{1},\ \mathrm{\vec{e}}_{2}\ ,\ \cdots\ , \mathrm{\vec{e}}_{n'}$ は，相互の間だけで変換されるから，これと独立な $\mathrm{\vec{e}}_{n'+1} ,\ \cdots\ , \mathrm{\vec{e}}_{n}$ なる n-n'

個のベクトルを取って来て全空間 $\mathrm{\vec{V}}$ の基底を構成すれば，変換 $\mathrm{A}$ は

$\mathrm{\vec{e}}'_{i}=\sum_{k=1}^{n'}\mathrm{\vec{e}}_{k}a_{ki},\$ $(i=1,\ 2,\ \cdots\ ,\ n')$

$\mathrm{\vec{e}}'_{j}=\sum_{h=1}^{n'}\mathrm{\vec{e}}_{h}a_{hj},\$ $(j=n'+1,\ \cdots\ ,\ n)$

となり，変換行列は下図のような形になる．

$\mathrm{\vec{V}}$ が二つの部分空間 $\mathrm{\vec{V}}'+\mathrm{\vec{V}}''$ に分解され，変換 $\mathrm{A}$ が ‘各の部分空間 $\mathrm{\vec{V}}'$ と $\mathrm{\vec{V}}''$ を不変にする’ ときには， $\mathrm{\vec{e}}_{1},\ \cdots\ , \mathrm{\vec{e}}_{n'}$ ； $\mathrm{\vec{e}}_{n'+1} ,\ \cdots\ , \mathrm{\vec{e}}_{n}$ は各個別別に相互の間だけで変換される．よって先の第二の式の

に対する加算は

から

までとなり，その行列 $\mathrm{A}$ は上図において B=0

としたものになる．この場合空間 $\mathrm{\vec{V}}$ は変換 $\mathrm{A}$ に対して完全に分解する，あるいは解離するという．

　このように完全分解の場合には， $\mathrm{A}'$ ， $\mathrm{A}''$ はそれぞれ部分空間 $\mathrm{\vec{V}}'$ ， $\mathrm{\vec{V}}''$ における変換の行列になり，その意味が明らかであるが、そうでない場合には，行列 $\mathrm{A}''$ は何を表すのか？これを意味づけるためには商空間（または剰余空間，あるいは因子空間）の概念を使う．

　ベクトル空間 $\mathrm{V}$ のベクトル $\mathrm{\vec{x}}_{1}$ と $\mathrm{\vec{x}}_{2}$ とが，‘部分空間 $\mathrm{V}'$ における成分だけを異にするとき，’ すなわち $\mathrm{\vec{x}}$ を $\mathrm{V}'$ ， $\mathrm{V}''$ に属する成分にわけて， $\mathrm{\vec{x}}_{1}=\mathrm{\vec{x}}'_{1}+\mathrm{\vec{x}}''_{1}$ ， $\mathrm{\vec{x}}_{2}=\mathrm{\vec{x}}'_{2}+\mathrm{\vec{x}}''_{2}$ と書いたとき， $\mathrm{\vec{x}}''_{1}=\mathrm{\vec{x}}''_{2}$ であれば， $\mathrm{\vec{x}}_{1}$ と $\mathrm{\vec{x}}_{2}$ とは ‘部分空間 $\mathrm{V}'$ を法として等しいといい，’ $\mathrm{\vec{x}}_{1}=\mathrm{\vec{x}}_{2}(\mathrm{mod}\ \mathrm{V}')$ と記す．この場合， $\mathrm{\vec{x}}_{1}-\mathrm{\vec{x}}_{2}$ $=\mathrm{\vec{x}}'_{1}-\mathrm{\vec{x}}'_{2}$ は $\mathrm{V}'$ に属するから， $\mathrm{\vec{x}}_{1}$ と $\mathrm{\vec{x}}_{2}$ とが $\mathrm{mod}\ \mathrm{V}'$ で等しいとは， $\mathrm{\vec{x}}_{1}$ と $\mathrm{\vec{x}}_{2}$ との差が $\mathrm{V}'$ に属すること，あるいは $\mathrm{V}'$ に属するベクトルの差は問題にしないことである．ベクトル $\mathrm{\vec{x}}\ (\mathrm{mod}\ \mathrm{V}')$ の集合は一つのベクトル空間を作る．これを $\mathrm{V}'$ による $\mathrm{V}$ の商空間といい， $\mathrm{V}\ (\mathrm{mod}\ \mathrm{V}')$ あるいは $\mathrm{V}/\mathrm{V}'$ と記す．