Презентацията може да се намери на следния адрес:
http://mkline.dir.bg/ специално създаден за целта на доклада уеб страница
Сава Д. Донков: savadd@tu-sofia.bg
Гаро Гарабедян: garabedyan@gmail.com
Под ръководството на ст.ас. Сава Донков, ДПФ, ТУ-София.
Статията се опитва да се покаже общото между математиката и физиката, съществуването на двете по отделно и заедно. Приносът на двете науки е разгледан по отделно.
Ще разгледам първата теория от древна Гърция (думата теория е използвана в днешен смисъл).
Тук се разглежда какво може да разкрие математиката за нашия физичен свят. Често пъти нашето възприятие е грубо и грешно представяне на това, което е физически реално и значимо. Тогава проличава голямата сила на математиката, която може да ни отведе отвъд осезаемото.
Като източник на факти особено за древногръцката астрономия е взета книгата на Morris Kline, Mathematics and the search for knowledge (книгата има руски, но за съжаление няма български превод).
Научните възгледи се развиват чрез допускането на някаква грешка и/или непълнота в изложената хипотеза. Функционално описване на околния свят е непосилна задача, той се състои от недискретен брой обекти и взаимоотношения между тях. За това във всички науки, се разглеждат само "важните" за предмета на изучаване обекти и отношения между тях.
Научното заключение се стреми да обобщи научните наблюдения. То се стреми да намери обща закономерност в наблюдавани явления в минал момент, която закономерност да е приложима във всеки следващ момент за същите или съставни от тези явления. За физиката е възможно при пълното познаване на една система в момент t да може да определи коя да е нейна характеристика във всеки следващ момент (t+dt).
От математическа гледна точка целият свят обобщено може да се представи като една функция, а именно:
Променливите x1, x2, ..., xn описват състоянието на света (n клони към безкрайност).
Изменението на W се изучава от човека, когато последния има комерсиален интерес от него. Комерсиално обоснован интерес е промяната на част от или на цялото W в резултат от прякото влияние на човека върху друга част на W.
Условие е изменението на една или повече променливи, при което може да се получи даден резултат. Влиянието върху набор от променливи на W е достатъчно условие за резултат, когато това влияние е достатъчно за постигането му. Ако са известни всички достатъчни условия, след съпоставяне може да се назове единствено необходимото условие, същото което се състои от влияния върху променливи, общо за всички достатъчни условия. Необходимото условие е винаги изпълнено при наличие на съответен резултат.
Хората правят нещата в живота си по аналогия, заключава Марвин Мински (Лаборатория компютърни системи и изкуствен интелект, Масачузетски институт по технологиите (CSAIL, MIT)). Той прави преглед на най-популярните класове компютърни решения за общи задачи от реалния живот, в доклада си в конференция посветена на всичко направено до момента за намирането на Изкуствен интелект. В доклада си твърди, че намира дискретния логически апарат и статистиката за неприложими към общ (в суров вид)проблем от реалния живот.
Ето един пример за мислене по аналогия. Нека имаме два обекта/ явления A и B, за които знаем различни неща, а именно за A: w, m, n; а за B: m, n. Тогава по аналогия за B: w, m, n. С други думи смятаме, че общото между двата обекта в m и n е достатъчно, за да се приеме, че същото се отнася и за w (в A и B).
Древногръцка астрономия
Древните гърци са наблюдавали същото, което и ние с просто око наблюдаваме в небето. Това не им е попречило да изградят теоретичен модел, описващ поведението на всичко интересно, което са виждали. Достигнали по съществото си до завършена теория в смисъла на думата от днешно време, съдържаща първите за времето си обяснения не чрез богове и митология, а чрез абстрактни модели и прости движения.
Уместно е да се използва опита от тези разсъждения, за да се види ясната връзка между математиката и физиката. Научното наблюдение е било силно ограничено и всичко е постигнато на базата предимно на разсъждения.
Питагор смятал, че Земята има сферична форма. Аргументите в защита на тази тези били колкото научни, толкова и естетически. Питагор намирал сферата за най-красивото твърдо тяло; той смятал че Вселената е сферична. Мислел още, че небето и Земята трябва да споделят тази обща форма. Такива чувства може би са били провокирани или най-малкото подкрепени от разкази на бдителни мореплаватели и наблюдения направени по време на затъмнение.
Вниманието на астрономите било привлечено от необичайно сложното и несиметрично движение на планетите. Астролозите забелязали Венера и Меркурий, за разлика от останалите 3 известни тогава планети, че остават винаги близо до Слънцето и за това могат да бъдат видени само при изгрев и залез Слънце; те се научили да отъждествяват "сутрешната звезда" и "вечерната звезда" като една и съща. Междувременно те наблюдавали и премислили мистерията на пътя на движението на планетите- странният начин, по който планетите по някога прекъсват своя нормален път по небето от запад към изток, остават неподвижни за кратко време, връщат се малко разстояние по пътят си в посока изток-запад, спират отново и накрая възстановяват движението си към изток. Древните гърци си задавали въпроса дали няма шаблон (английски: pattern; руски: порядок) описващ/ съдържащ този хаос, който съзерцавали.
По онова време са изказани двете основни хипотези за Слънчевата система: хелиоцентричната и геоцентричната. Не е имало доказателство, което да докаже/ обори нито едната от двете теории, това което са наблюдавали на небосвода се обяснява и в двете подредби на Слънчевата система.
Евдокс направил математически обоснована теория за света базирайки се на собствени наблюдения. Схемата на Евдокс съдържала множество концентрични сфери, чиито център бил неподвижната Земя. Евдокс предположил, че комбинацията от сферични движения може да произведе желаната траектория на планета различна от Земята.
Основните трудове на Евдокс не са запазени до днес, а тяхното съдържание е известно на нас само от древните коментатори, главно Аристотел. Според господстващата преценка подходящата комбинация от сфери ще произведе съвършено точно всички движения с изключение на пътищата на Венера и Меркурий. Евдокс предполагал, че небесните тела са винаги на едно и също разстояние от Земята, и така те не би трябвало до показват промяна на яркост или размери, които са очевидни дори и за невъоръжено око. Евдокс бил наясно с трудностите, но ги игнорирал. Несъмнено той и неговите съвременници са виждали достатъчно ясно, че отричането на теорията може да отмести Земята от центъра на Вселената (групата небесни тела, които те са наблюдавали), който изумителен резултат те отбягвали.
Неопределеност, поради липса на знание за поведението на небесните тела, позволило съществуване на идеите за въртенето на Земята около нейна неуточнена ос (на Хераклид) и противоположната идея за статична Земя около която се въртят всички планети. Най- вероятно Хераклид е споделял общото чувство, че Вселената трябва да бъде много голяма в сравнение със Земята. Той е предпочел въртенето на нашето миниатюрно кълбо пред въртенето на нейното обширно обкръжаващо пространство. Новата идея не намерила общо признание без значение от рационалността си.
Хераклид направил и друго интересно предположение. Постоянната близост на Венера и Меркурий до Слънцето навела Хераклид на мисълта, че тези две планети пътуват по окръжности с център Слънцето. Хераклид предположил, че ако това "хелиоцентрично" движение се проявява в комбинация със собственото въртене на Слънцето около Земята, разстоянието от Земята до Венера и Меркурий очевидно ще се променя, произвеждайки точно същия тип непостоянна яркост, която модела на Евдокс се оказва безсилна да обясни. От чисто математическа гледна точка, Хераклид е използвал, за първи път в космологическите размишления, идеята за епицикъл: окръжност, чиито център се върти по друга окръжност. Тази теория е уязвима от своето ограничение до 2 от 5-те тогава известни планети, което Хераклид както изглежда не се е опитвал да премахне, но самата представа за Слънцето като център на небесно движение (в конкретния случай само на две планети) е важна крачка напред.
Аристарх от Самос (310- 230 г. пр.н.е.) като млад астроном направил първия опит в историята да изчисли размерите и разстоянията до небесните обекти. Съвременният прочит на детайлите изграждащи решението на Аристарх за размерите на Слънцето и Луната го поставя като упражнение по елементарна тригонометрия. Този труд е в началото на откриването на тригонометрията и той за нас съдържа по-скоро търсенето на максимални и минимални граници за размерите на Слънцето и Луната, отколкото определени точни стойности. Основен инструмент е блестящия труд „Начала“ на Евклид, написан поколение или две по-рано (около 300 г. пр.н.е.). Аристарх се осланя на Евклид и продължава, доказвайки допълнителни теореми, от своя страна. След това изобретателно експлоатирайки тези нови математически резултати той представя три основни заключения, които се отнасят за разстоянието на Слънцето и Луната до Земята и пропорциите им по размери на тези три обекта.
В сравнение с днешните модели на небесните тела и разстоянията между тях, трудът на Аристарх би следвало да се обяви за провал. Причината за това разминаване обаче не е в математическите допускания на Аристарх, но в наблюдението възможно по онова време (само с примитивни инструменти). Опитът да се измерят небесните тела с малко, но достатъчни теореми на Евклид може да изглежда разчустващ в светлината на модерната математика. Но това е пренос към решаването на два от основните въпроси за действителния план на Вселената- "Колко голям?" и "Колко далеч?".
Никъде в оцелелия труд на Аристарх не се намеква, че Земята пътува около Слънцето. Въпреки това Архимед пише, че Аристарх излага хипотези за неподвижни звезди и Слънце и за Земята въртяща се около Слънцето по обиколката на окръжност, в който модел Слънцето лежи в центъра на орбитата.
Хераклид дава полезна посока учейки, че пътищата на Венера и Меркурий са с общ център в Слънцето и пресмятанията на Аристарх за размерите, заедно с интуиция за принципите на динамиката, може да са навели Аристарх на мисълта (въпреки, че не можем да сме единомислещи за мотивите му), че по-приемливо от физическа гледна точка е малкото тяло да се върти около голямото. В алтернатива може би той е разглеждал въпроса за хелиоцентричност само като интересна хипотеза имаща приложение в математическите му изводи. Идеята била прекалено дръзка за времето си, освен това фактът, че обитателите на Земята не могат да почувстват въртенето на Земята и вярата, че Земята е естествен център на Вселената отблъснала идеята на Аристарх.
Ератостен, роден в Сиена около 276 г. пр.н.е., наблюдава, че по обяд, в деня на лятното слънцестоене, Слънцето не хвърля сянка в Сиена (Асуан), докато в Александрия, в същия час, стрелката на слънчевия часовник хвърля сянка от 1/50 /една петдесета/ от пълната окръжност. Приемайки, че двата града са на един меридиан и слънчевите лъчи падат успоредно във всяка точка на Земята, Ератостен изчислява Земната обиколка, която е 1/50 от разстоянието между Сиена и Александрия. Той греши в две предположения: (1) Александия и Сиена не са на един меридиан; (2) Ератостен изчислява отдалечеността между двата града единствено по времето необходимо на кралските вестоносци да го пробягат.
Това е голямо постижение за времето си. Ератостен използва само една пръчка и чрез допускане на няколко условия определя обиколката на Земята по сянката на пръчката. Разбирането че тези условия са достатъчни, за да са верни изчисленията и след това самите изчисления са възможни благодарение на изградения математически модел.
Кулминацията в астрономията на древните гърци са работите на Хипарх (починал 125 г. пр.н.е.) и Клаудиус Птолемей (починал 168 г. сл.н.е.).
Хипарх забелязал, че схемата на Евдокс, която предполагала, че небесните тела са закрепени на въртящи се сфери с център Земята, не отбелязва много факти наблюдавани от гърците. Вместо схемата на Евдокс, Хипарх предположил, че планета P се движи в кръг, епицикъл, с постоянна скорост и центърът на този кръг, Q, се движи с постоянна скорост по друг кръг с център Земята. С правилно избиране на радиуса на двете окръжности и скоростите на Q и P той е в състояние да постигне точно описание на движението на много планети.
Движението на планета спрямо неподвижната Земя според схемата на Хипарх е подобно на движението на Луната спрямо Слънцето според днешната астрономия. Луната се върти около Земята и непосредствено с това Земята се върти около Слънцето.
Хипарх намерил за необходимо да използва три или четири окръжности движещи се една по друга, за да опише движението на някои небесни тела. Като пак всеки център се движи със собствена (несвързана с останалите движения) постоянна скорост по една съответна окръжност.
Клаудиус Птолемей, роден край Нил, написал „Алмагест“, в която книга дал на гръцката тригонометрия завършен вид. Количествено прецизната теория на Птолемей дълго време подвеждала хората, че тя е абсолютна истина. Тази теория се е явила като завършено разбиране на наблюдаваните явления на небето и като такова е първият велик научен синтез. Със завършването на труда на Хипарх от Птолемей, доказателството за пълно математическо описание на Вселената е напълно завършено. Въпреки това Птолемей, така както и Евдокс, е категоричен, че тази теория е само математическа конструкция.
Теорията придобива математическа завършеност, като описва поведението на обектите предмет на същата, но това функционално описание не е единственото възможното имайки предвид данните за обектите от тяхното наблюдаване. Гърците водени от вътрешното усещане за простота и лекота на истината били склонни да допуснат тази математическа възможност от многото такива за единствено действителна.
Птолмей открива основните тригонометрични формули и тяхното конкретно пресмятане чрез таблици, изграждайки модел на Земята и планетите в геоцентрична Слънчева система и пресмятайки тяхното движение с много малки "стъпки".
Птолемей е запознат с хелиоцентричната теория на Аристарх, но я отхвърля с мотива, че движението на тяло е пропорционално на неговата маса. Оттук ако Земята се движеше, тя щеше да оставя по-леките тела, като човека и животните, далеч зад себе си. Неговата астрономия започва с утвърждаването на сферата като форма на небосвода, това според него е най-древната убеденост (вяра) на човека. Неговите мотиви са изградени главно върху наблюдения, макар че се повтарят и стари априорни аргументи (той не изисква проверка в реалния живот за установяване на неговата истинност; априорният аргумент се основава на дедукция от абстрактни общи допускания, истинността на априорното изказване не зависи пряко от наблюдаван факт и така тази истинност не зависи от прецизността на наблюдението): "Движението на небесните тела трябва да среща най-малкото препятствие и да е най-лесно постижимо, [и] кръгът сред равнинните фигури предлага най-лесният път (траектория) на движение, както и сферата сред обемните тела". Птолемей смята за необходимо да представи доказателства- изцяло на базата на наблюдения за твърдението, че Земята също е сфера. Той настоява, че нашата Земя не се движи, макар че отстъпва като признава, че движението й може да произведе наблюдаваните явления. Земята е в центъра на небето, големината й, твърди Птолемей, утвърждавайки традиция вече добре установена, е дребна точка в сравнение с отдалечеността на звездите.
В основния абстрактен шаблон ексцентрик- епицикъл наблюденията могат да бъдат представени само ако се приеме, че епицикълът на планета се движи еднакво (равномерно) не спрямо центъра на диферента C, но спрямо друга точка наречена еквант, Q, а Земята е в E и EC=CQ. Това равномерно движение се дефинира като изминаването (замитането) на една и съща площ на диферента от отсечката QA за едно и също време. Оттук, с увеличаване на отсечката QA, A започва да се движи по бавно по диферента, което се наблюдава, когато A минава близо до Земята. Всеки епицикъл е наклонен към своя диферент по такъв начин, че да държи епицикъла приблизително успореден на еклиптиката.
Все пак, в самовнушеното ограничение за равномерно движение по окръжност, изключващо само допускането на променливи разстояния за спътниците, теорията на Птолемей описва небесните движения с прецизност напълно отговаряща на точността на наблюденията; освен това умножението на кръгове удостоверява куража на велик астроном и умение да се справя със сложността на природата. Въвеждането на еквант е първокласно математическо постижение. Макар че много допускания в обясненията на Птолемей, особено "централната" неподвижна Земя, съдържат най-дълбоките убеждения от всекидневния опит, „Алмагест“ следва да се нареди сред най-влиятелните книги в историята на науката.
От гледна точка на търсенето на истина, е достойно за внимание това, че Птолемей, както и Евдокс, напълно осъзнават че тези теории са просто подходящо математическо описание, което съвпада с наблюденията и не е задължително истинската подредба на природата. За някои планети Птолемей има възможност за алтернативни схеми, но той избира математически най-простите. Той твърди, че астрономията трябва да търси възможно най-простият математически модел. Това е естетически красиво обяснение за Птолемей и древните гърци.
Теорията на Птолемей представя първото достатъчно пълно обяснение за еднаквостта и неизменчивостта на природата. Цялостната значимост на теорията на Птолемей е, че тя демонстрира силата на математиката да осмисля сложни и дори мистериозни физични явления. Проблемът за разбирането на природата и дори откриването на непознати явления приема устрем и бива насърчен от първият си величествен успех.
Математиката- поглед в бъдещето
Гръцката геометрия изхожда от няколко основни предположения, наричани аксиоми или постулати. Тези предположения се разглеждат като най-прости, безспорни закони на логиката и геометрията. Някои от тях имат главно формално- логически характер, например аксиомата, според която две величини, равни на една и съща трета величина, са равни и помежду си. Други описват пространствените отношения, например аксиомата за паралелността, която твърди, че през всяка точка Р от равнината , която не лежи на дадена права 1 в същата равнина, минава една и само една права, която не пресича 1 и се нарича успоредна на 1.
Този постулат не притежава очевидността на чисто логическите постулати на математиката. Математиците са я намирали за ненужна и произтичаща от естеството на геометрията. Цели поколения учени са се опитвали да докажат, че то не може да се нарушава и следователно е ненужно (излишно) в аксиомите на Евклид. През 17 век италианският математик Сакери е положил много усилия да проучи различните следствия, които се получават при отказване от аксиомата за паралелността с надеждата, че при прилагането на противоположната аксиома ще се достигне до логическо противоречие.
Отказване на аксиомата на паралелността чрез представяне на обратната й, която гласи: през всяка точка Р от равнината , която не лежи на дадена права 1 в същата равнина, минават поне две прави, несъвпадащи помежду си, които не пресичат 1.
Сакери е извършил много интересна работа и е намерил множество нови форми на аксиомата за паралелността, но всичките му усилия са се оказали напразни. Колкото повече се е старал да намери противоречие сред следствията при отказване от аксиомата, толкова по-съдържателна става съвкупността от факти, която се получава при това отказване. Тази все по-нарастваща съвкупност от факти постепенно придобива характер (структура) на геометрия, доста причудлива в сравнение с обикновената геометрия на Евклид, но въпреки това тя вътрешно никак не е противоречива.
Най-сетне в началото на 19 век цяла група учени- унгарският математик Янош Бояи, руският математик Лобачевски и великият немски математик Гаус- стигат до смелия извод, че отказването от аксиомата за паралелността изобщо не довежда до никакво противоречие, а означава само преход към нова "неевклидова" геометрия.
Риман използвайки анализа и алгебрата се опитва да отсее понятията в основата на всички геометрии (евклидова и неевклидови) и достига до извода, че това е метриката (начинът, по който се измерва разстоянието между две точки). Задаването на метриката генерира геометрията, така той полага основите на диференциалната геометрия.
Години след това тази геометрия намира приложение в теорията за относителността. Като ясно отражение, че физическото пространство има кривина. Явно възгледът на Питагор, представен по горе, за сферичността на Вселената се оказва споделени от настоящата наука.
Чрез математиката могат да се постигнат система от твърдения и отношения, които са породени от настоящи проблеми, но без видимо приложение в момента. Историята показва, че развитието на науката намира тяхното място в обяснение на природата. Математиката извлича истинните взаимоотношения от наблюдаваното явление (чрез много опити да се опише с най-проста математическа конструкция всички наблюдавани към момента явления), чиято истинност се запазва и при прилагането им върху нова различна система явления.
Г. Х. Харди (1877-1947), математик, е поддържал идеята за саморазвиваща се математика- източник на решения, който не черпи от другите науки понятия и отношения. Тази идея е отхвърлена след като се оказва, че математиката не може да генерира значими проблеми за самата себе си, когато се е изолирала от природните науки.
Математиката и Физиката не могат да съществуват сами поотделно.