CONCEPTOS FUNDAMENTALES:

Teoría de la cantidad de movimiento. Límite de Betz

"La máxima potencia que se puede obtener, en teoría, de una corriente de aire con una aeroturbina ideal nunca puede superar al 59,26% de la potencia del viento incidente."

Esta teoría se instaura bajo las llamadas hipótesis de Rankine-Froude, es decir:

a-      Supone el aire como un fluido ideal sin viscosidad, en todo el campo fluido, excepto en las proximidades muy cercanas al plano del rotor.

b-     El movimiento en todo el campo fluido es subsónico y a muy bajos números de Mach, con lo cual se puede considerar a éste como incompresible. El problema fluido térmico está desacoplado del problema fluido mecánico.

c-      El movimiento del fluido es estacionario o permanente, es decir que no depende del tiempo.

d-     No tiene en cuenta la rotación del rotor ni la de su estela.

e-      Contempla el rotor como un disco poroso al cual se llegaría colocando infinitos álabes infinitamente delgados.

f-       Las magnitudes empleadas para representar las variables en una sección recta determinada del tubo de corriente, son magnitudes equivalentes de su perfil de distribución a lo ancho de dicha sección.

 

Bajo estas fuertes restricciones, el modelo físico utilizado en esta teoría es el que muestra la figura.

Donde:

V₁: velocidad de viento aguas arriba del rotor,

V₂: velocidad de viento aguas abajo del rotor,

V: velocidad incidente en el plano del rotor,

F: fuerza provocada por la corriente sobre el plano del rotor,

P₁: presión aguas arriba del rotor (P₁= P₂=P_atm )

P⁺, P^- : presión en el plano del rotor a barlovento y sotavento respectivamente.

Si aplicamos el teorema de conservación de la cantidad de movimiento a éste modelo y siendo r la densidad del aire:

SF = r.Q.DV Þ F = r.A.V.(V₁-V₂) (1.4)

También podemos calcular esta fuerza como: 

F = A.(p⁺-p^-) (1.5)

Aplicando la ecuación de conservación de la energía, bajo las hipótesis formuladas, es decir el teorema de Bernoulli al tubo de flujo, entre la sección 1 y el plano del rotor y entre éste y la sección 2, resulta:

, como

luego, aplicando esta igualdad a (1.5) e igualando a (1.4):

de esta manera llegamos a: (1.6)

Esta velocidad axial, V, que atraviesa el disco del rotor, es menor que la velocidad del viento (en el infinito aguas arriba) y se puede representar introduciendo un factor de interferencia, a, llamado coeficiente de velocidad inducida axial.

De este modo:

V = V₁.(1-a) y V₂ = V₁ .(1-2.a) (1.7)

Ahora, la potencia captada por el rotor es el producto de la fuerza ejercida por el fluido, F, por la velocidad incidente en el mismo, V:

(1.8)

el último miembro de esta expresión tiene un significado especial, ya que dice que la potencia extraída del viento es, por una parte, proporcional al caudal másico que atraviesa el rotor y por otra, proporcional a la diferencia de energía cinética de la corriente entre las secciones aguas arriba y abajo del mismo.

Ahora bien, para un valor constante de la velocidad en el infinito aguas arriba, V₁, ¿cual será el valor de V₂ que haga máximo la potencia absorbida por el rotor?

Como r, A, V₁ son constantes Þ P_capt = P_capt(a). Luego, maximizando la ec. (1.8) y resolviendo, tendremos:

Reemplazando este valor en la expresión P_capt(a): (1.9)

Esta es la máxima potencia que se puede obtener del flujo de aire con una aeroturbina ideal.

Recordando, ahora, la definición de C_p: , y la ec. (1.1) tendremos:

Esta última expresión es el denominado Límite de Betz (1927) y expresa lo siguiente: "La máxima potencia que se puede obtener, en teoría, de una corriente de aire con una aeroturbina ideal nunca puede superar al 59,26% de la potencia del viento incidente."

 Este límite de Betz ha sido cuestionado debido a la simplicidad del modelo habiéndose propuesto otros modelos. La realidad ha demostrado que aún con los mejores diseños no se ha logrado superar el 48% en el C_p, y cuando por razones de fabricación se debe modificar levemente la configuración óptima este valor desciende al 42%