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CAPÍTULO V.

56. A noção de denotar, como a maioria das noções da lógica, foi, até agora, obscurecida por uma mistura inadequada de psicologia. Há um sentido no qual nós denotamos, quando apontamos ou descrevemos, ou empregamos palavras como símbolos para conceitos; esse, no entanto, não é o sentido que eu desejo discutir. Mas o fato de que a descrição é possível--de que nós sejamos capazes, pelo emprego de conceitos, de designar [to designate] uma coisa que não é um conceito--se deve a uma relação lógica entre alguns conceitos e alguns termos [terms], em virtude da qual tais conceitos inerente e logicamente denotam tais termos. É esse o sentido de denotar que está aqui em questão. Essa noção subjaz (penso eu) a todas as teorias da substância, da lógica de sujeito-predicado e da oposição entre coisas e idéias [ideas], pensamento discursivo e percepção imediata. Esses vários desenvolvimentos parecem, no principal, estar errados; enquanto que o fato fundamental, do qual eles surgiram, é dificilmente discutido sequer uma vez em sua pureza lógica.

Um conceito denota quando, se ele ocorre em uma proposição, a proposição não é sobre o conceito, mas sobre um termo conectado de uma maneira peculiar com o conceito. Se eu digo "Eu encontrei um homem," a proposição [proposition] não é sobre um homem; isso é um conceito que não caminha pelas ruas, mas que vive no limbo sombrio dos livros de lógica. O que eu encontrei foi uma coisa, não um conceito; um homem de verdade com um terno e uma conta bancária ou um bar e uma esposa bêbada. Mais uma vez: a proposição "qualquer [any] número finito é ímpar ou par" é claramente verdadeira; já o conceito "qualquer número finito" não é nem par nem ímpar. São somente os números particulares que são pares ou ímpares; não há, além desses, outra entidade, qualquer número, que seja ou ímpar ou par; e, se houvesse, é claro que ela não poderia ser ímpar e não poderia ser par. Do conceito "qualquer número," quase todas as proposições que contêm a expressão [phrase] "qualquer número" são falsas. Se nós desejamos falar do conceito, nós temos de indicar o fato pelo uso dos itálicos ou aspas. As pessoas frequentemente afirmam [assert] que o homem é mortal; mas o que é mortal irá morrer, e, ainda assim, nós nos surpreenderíamos em encontrar no "Times" uma informação tal como a seguinte: "Morreu em sua casa de Camelot, Estrada Gladstone, Alto Tooting, no 18° dia de junho de 19--, Homem, filho mais velho da Morte e do Pecado." Homem, na verdade, não morre; por isso, se "homem é mortal" fosse, como parece ser, uma proposição sobre homem, ela seria simplesmente falsa. O fato é que a proposição é sobre os homens; e novamente não é sobre o conceito os homens, mas sobre o que esse conceito denota. Toda a teoria da definição, da identidade, das classes, do simbolismo e da variável está relacionada com a teoria do denotar. A noção é uma noção fundamental da lógica, e, apesar de suas dificuldades, é completamente essencial ser o mais claro possível sobre ela.

57. A noção do denotar pode ser obtida por um tipo de gênese lógica de proposições do tipo sujeito-predicado, das quais ela parece mais ou menos dependente. As mais simples das proposições são aquelas nas quais um predicado ocorre de uma maneira outra que como termo [term], e há somente um termo do qual o predicado é afirmado [asserted]. Tais proposições podem ser chamadas proposições sujeito-predicado. São exemplos: A é, A é um, A é humano. Conceitos que são predicados poderiam também ser chamados conceitos-classe [class-concepts], porque eles dão origem a classes; mas nós achamos necessário distinguir entre as palavras predicado e conceito-classe. Proposições do tipo sujeito-predicado sempre implicam e são implicadas por outras proposições do tipo que afirmam que um indivíduo pertence a uma classe. Assim, os exemplos acima são equivalentes a: A é uma entidade, A é uma unidade, A é um homem. Essas novas proposições não são idênticas às anteriores, uma vez que elas têm uma forma inteiramente diferente. Para começar, é é agora o único conceito não usado como termo. Um homem, veremos, não é nem um conceito nem um termo, mas um certo tipo de combinação de certos termos, a saber, aqueles que são humanos. E a relação de Sócrates com um homem é diferente da sua relação com a humanidade; de fato, se o ponto de vista acima é correto, "Sócrates é humano" deve ser considerado não, no sentindo mais usual, como um juízo da relação entre Sócrates e a humanidade, uma vez que essa visão faria humano ocorrer como temo em "Sócrates é humano". É inegável, isto é claro, que a relação com a humanidade é implicada por "Sócrates é humano," a saber, a relação expressa por "Sócrates tem humanidade"; e esta relação implica, conversamente, a proposição de sujeito-predicado. Mas as duas proposições podem ser claramente distinguidas, e é importante para a teoria das classes que isso seja feito. Assim, temos, no caso de cada predicado, três tipos de proposições que implicam uma a outra, a saber, "Sócrates é humano," "Sócrates tem humanidade" e "Sócrates é um homem." A primeira contém um termo e um predicado, a segunda dois termos e uma relação (o segundo termo sendo idêntico ao predicado da primeira proposição)¹, enquanto que a terceira contém um termo, uma relação e o que eu chamarei de uma disjunção (um termo [term] que será explicado em breve)². O conceito-classe difere pouco, se de fato difere, do predicado, enquanto  que a classe, ao contrário do conceito-classe, é a soma ou conjunção de todos os termos que têm o dado predicado. A relação que ocorre no segundo tipo (Sócrates tem humanidade) é caracterizada completamente pelo fato de que ela implica e é implicada por uma proposição com somente um termo, na qual o outro termo da relação se tornou um predicado. Uma classe é uma certa combinação de termos, um conceito-classe é intimamente aparentado com [closely akin to] um predicado, e o os termos cuja combinação forma a classe são determinados pelo conceito-classe. Predicados são, em um certo sentido, o mais simples tipo de conceitos, uma vez que eles ocorrem no tipo mais simples de proposição.

58. Há, conectado com cada predicado, uma grade variedade de conceitos intimamente associados, que, na medida em que eles são distintos, é importante diferenciar. Começando, por exemplo, com humano, nós temos homem, homens, todos os homens, cada homem [every man], qualquer homem [any man], a raça humana, dos quais todos, exceto o primeiro, são duplos, um conceito denotativo [denoting concept] e um objeto denotado; nós temos também, menos intimamente análogas, as noções "um homem" e "algum homem," que também denotam objetos³ diferentes delas mesmas. Esse vasto aparto conectado com cada predicado deve ser mantido em mente, e um esforço deve ser feito para fornecer uma análise de todas as noções acima. Mas, por ora, é na propriedade de denotar que estamos interessados, e não nos vários conceitos denotativos.

A combinação de conceitos para formar novos conceitos, de maior complexidade que os seus constituintes, é um assunto a respeito do qual muitos escritores de lógica disseram muitas coisas. Mas a combinação de termos enquanto tais, para formar o que, por analogia, pode ser chamado de termos complexos, é um assunto sobre o qual os lógicos, de agora e de antigamente, debateram insuficientemente. Contudo, o assunto é de vital importância para a filosofia da matemática, uma vez que tanto a natureza do número quanto a da variável giram exatamente em torno desse ponto. Seis palavras, que ocorrem constantemente na vida cotidiana, também são característica da matemática: são elas as palavras todos [all], cada [every], qualquer [any], um [a], algum [some] e o(s)/a(s) [the]. Para que o raciocínio seja preciso, é essencial que essas palavras sejam nitidamente distinguidas umas das outras; no entanto, o assunto tem muitas dificuldades e é quase que completamente negligenciado pelos lógicos⁴.

Para começar, é claro que uma expressão que contenha uma das seis palavras acima sempre denota. Para a presente discussão, será conveniente distinguir um conceito-classe de um predicado: vou chamar humano de predicado e homem, de conceito-classe, embora a distinção seja talvez somente verbal. A característica de um conceito-classe, diferentemente de termos em geral, é que "x é um u" é uma função proposicional quando, e somente quando, u é um conceito-classe. Devemos considerar que, quando u não é um conceito-classe, nós não temos uma proposição falsa, mas simplesmente não temos proposição alguma, qualquer que seja o valor que atribuamos para x. Isso nos permite distinguir um conceito-classe que pertence à classe vazia [null-class], para o qual todas as proposições da forma acima são falsas, de um termo que simplesmente não é um conceito-classe, para o qual não há proposições da forma acima. Torna-se claro também que um conceito-classe não é um termo na proposição "x é um u," pois, se a fórmula deve permanecer uma proposição, a variação de u é restrita. Podemos agora dizer que uma expressão denotativa consiste sempre de um conceito-classe antecedido por uma das seis palavras acima ou algum sinônimo delas.

59. Em relação ao denotar, a questão que primeiramente nos toca é a seguinte: Há somente uma maneira de denotar seis tipos diferentes de objetos, ou as maneiras de denotar são diferentes? Nesse último caso, o objeto denotado é o mesmo em todos os seis casos ou, assim como as maneiras de denotá-lo, o objeto difere? Para responder essa questão, será necessário primeiramente explicar as diferenças entre as seis palavras em questão. Será conveniente omitir por ora a palavra o(s)/a(s) [the], já que essa palavra está em uma posição diferente das outras e é sujeita a limitações das quais as outras são isentas.

Nos casos em que a classe definida pelo conceito-classe tem somente um número finito de termos, é possível omitir completamente o conceito-classe e indicar os vários objetos denotados enumerando os termos e conectando-os, conforme o caso, por meio do e ou do ou. Se primeiramente considerarmos esse caso, será útil isolar uma parte do nosso problema  embora a falta de sutileza na linguagem torna difícil apreender [to grasp] a diferença entre os objetos indicados pelas palavras de mesma forma.

Vamos começar considerando dois termos somente, Brown e Jones, digamos. Os objetos denotados denotados por todos, cada, qualquer, um e algum⁵ estão respectivamente envolvidos nas seguintes cinco proposições. (1) Brown e Jones são dois dos pretendentes ao casamento de Senhorita Smith; (2) Brown e Jones estão cortejando Senhorita Smith; (3) se foi Brown ou Jones quem você encontrou, foi um amante muito intenso; (4) se foi um dos dos pretendentes ao casamento de Senhorita Smith, deve ter sido Brown ou Jones; (5) Senhorita Smith vai casar com Brown ou Jones. Embora somente duas formas de palavras estão envolvidas nessas proposições (Brown e Jones e Brown ou Jones), eu afirmo que cinco combinações diferentes estão envolvidas. As distinções, algumas das quais um tanto sutis, podem ser apresentadas pelas considerações seguintes. Na primeira proposição, é Brown e Jones que são dois, e isso não verdadeiro de nenhum deles separadamente; entretanto, não é o todo composto por Brown e Jones que é dois, pois o todo é somente um. Os dois são uma combinação genuína de Brown e Jones, o tipo de combinação que, como veremos no próximo capítulo, é característico das classes. Na segunda proposição, ao contrário, o que é afirmado [asserted] é verdadeiro de Brown e Jones separadamente; a proposição é equivalente, embora não seja (penso eu) idêntica, a "Brown está cortejando Senhorita Smith e Jones está cortejando Senhorita Smith". Portanto, a combinação indicada por e não é a mesma aqui que a do primeiro caso: o primeiro caso dizia respeito a todos eles coletivamente, enquanto que o segundo diz respeito a todos distributivamente, i.e. todos ou cada um deles. Para distinguir, podemos chamar a primeira de conjunção numérica, uma vez que ela dá origem a número, e a segunda de conjunção proposicional, uma vez que a proposição em que ela ocorre é equivalente a uma conjunção de proposições. (Deve ser observado que a conjunção de proposições em questão é de um tipo completamente diferente de qualquer uma das combinações que estamos considerando, sendo, na verdade, do tipo chamado produto lógico. As proposições são combinadas quâ proposições, não quâ termos.)

A terceira proposição mostra o tipo de conjunção pelo qual qualquer é definido. Há um pouco de dificuldade sobre essa noção, que parece estar no meio do caminho entre uma conjunção e uma disjunção. Essa noção pode ser mais esclarecida do seguinte modo. Sejam a e b duas proposições diferentes, cada uma das quais implica uma terceira proposição c. Por conseguinte, a disjunção "a ou b" implica c. Ora, sejam a e b proposições que atribuem o mesmo predicado a dois sujeitos diferentes. Desse modo, há uma combinação dos dois sujeitos à qual o dado predicado pode ser atribuído, de forma que a proposição resultante é equivalente à disjunção "a ou b." Suponhamos, então, que temos "se você encontrou Brown, você encontrou um amante muito intenso," e "se você encontrou Jones, você encontrou um amante muito intenso." Disso nós inferimos "se você encontrou Brown ou se você encontrou Jones, você encontrou um amante muito intenso," e consideramos isso equivalente a "se você encontrou Brown ou Jones, etc." A combinação de Brown e Jones aqui indicada é a mesma que é indicar por qualquer um deles [either of them]. Ela difere de uma disjunção pelo fato de que ela implica e é implicada por uma afirmação [statement] a respeito de ambos; mas, em alguns casos mais complicados, essa mútua implicação falha. O método de combinação é,na verdade, diferente daquele indicado por ambos, e também é diferente de ambas as formas de disjunção. Irei chamá-la de conjunção variável. A primeira forma de disjunção é dada por (4): essa é a forma que eu irei denotar por um pretendente. Aqui, embora deve ter sido Brown ou Jones, não é verdadeiro que deve ter sido Brown, nem tampouco que deve ter sido Jones. A proposição não é, consequentemente, equivalente à disjunção das proposições "deve ter sido Brown ou deve ter sido Jones." Na verdade, a proposição não é capaz de afirmação como uma disjunção nem como uma conjunção de proposições, exceto da forma muito indireta: "se não foi Brown, foi Jones, e, se não foi Jones, foi Brown," uma forma que rapidamente se torna intolerável quando o número de termos excede dois, e se torna teoricamente inadmissível quando o número de termos é infinito. Essa forma de disjunção, portanto, denota um termo variável, isto é, qualquer dos dois termos que nós escolhamos, a disjunção não o denota, e ainda assim ela denota um ou outro deles. De acordo com isso, chamarei essa forma de disjunção variável. Por último, a segunda forma de disjunção é dada por (5). Ela é o que eu chamarei de disjunção constante, uma vez que ou Brown é denotado ou Jones é denotado, mas a alternativa está indeterminada. Em outras palavras, nossa proposição é agora equivalente a uma disjunção de proposições, a saber "Senhorita Smith casará com Brown, ou ela casará com Jones." Ela casará com algum dos dois, e a disjunção denota um deles em particular, embora ela possa denotar cada um deles em particular [...the disjunction denotes a particular one of them, though it may denote either particular one]. Portanto, todas as cinco combinações são distintas.

Deve ser observado que essas cinco combinações resultam não em termos nem em conceitos, mas estritamente apenas em combinações de termos. A primeira resulta em muitos termos, enquanto as outras resultam em algo completamente peculiar que não é um nem muitos. As combinações são combinações de termos, produzidas sem o uso de relações. Correspondente a cada combinação há, pelo menos no caso de os termos combinados formarem uma classe, um conceito perfeitamente definido, que denota os vários termos da combinação combinados de uma maneira específica. Para explicar isso, vamos repetir nossas distinções num caso em que os termos a serem combinados não estão numerados, como acima, mas são definidos como os termos de uma certa classe.

60. Quando um conceito-classe a é dado, deve-se considerar que os vários termos que pertencem à classe também são dados. Isso é o mesmo que dizer que, qualquer que seja o termo apresentado, pode ser decidido se ele pertence ou não à classe. Desse modo, uma coleção de termos pode ser dada de uma forma diferente do que por enumeração. Se uma coleção pode ser dada de outra forma além de por enumeração ou por um conceito-classe, é uma questão que eu deixo, por ora, indeterminada. Mas a possibilidade de apresentar uma coleção por um conceito-classe é altamente importante, uma vez que ela nos habilita a lidar com coleções infinitas, como veremos na Parte V. No momento, eu quero examinar o significado de tais expressões como todos os a's [all a's], cada a, qualquer a, um a e algum a. Para começar, todos os a's denota uma conjunção numérica; ela é definida assim que a é dado. O conceito todos os a's é um conceito único perfeitamente definido, que denota os termos de a tomados todos em conjunto [all together]. Os termos assim tomados têm um número, que, se desejarmos, pode ser considerado como uma propriedade do conceito-classe, uma vez que ele é determinado para qualquer conceito-classe dado. Cada a, pelo contrário, embora ainda denote todos os a's, denota-os de uma maneiro diferente, i.e. separadamente em vez de coletivamente. Qualquer a denota somente um a, mas é completamente irrelevante qual deles é denotado, e o que é dito será igualmente verdadeiro qualquer que seja ele. Além disso, qualquer a denota um a variável, isto é, qualquer a em particular no qual nós possamos nos fixar, é certo que qualquer a não o denota; e ainda assim será verdadeira dele qualquer proposição que é verdadeira de qualquer a. Um a denota uma disjunção variável. Isso é o mesmo que dizer que uma proposição que é verdadeira [which holds] de um a pode ser falsa em relação a cada a em particular; portanto ela não é redutível a uma disjunção de proposições. Por exemplo, um ponto se encontra entre um ponto qualquer e outro ponto qualquer; mas não seria verdadeiro de qualquer ponto em particular que ele se encontra entre qualquer ponto e outro ponto qualquer, uma vez que há muitos pares de pontos entre os quais ele não se encontra. Isso nos leva finalmente a algum a, a disjunção constante. Ele [this] denota somente um termo da classe a, mas o termos que ele denota pode ser qualquer termo da classe. Por isso, "algum momento não segue qualquer momento" significaria que há um primeiro momento no tempo, enquanto "um momento antecede qualquer momento" significa o exato oposto, a saber, que qualquer momento tem antecessores.

61. No caso de uma classe a que tem um número finito de termos--digamos a₁, a₂, a₃, ...a_n, nós podemos ilustrar essas várias noções da seguinte maneira:

(1) Todos os a's denota a₁ e a₂ e ... a_n.

(2) Cada a denota a₁ e denota a₂ e ... e denota a_n.

(3) Qualquer a denota a₁ ou a₂ ou ... ou a_n, em que ou significa [has the meaning] que é irrelevante qual escolhemos.

(4) Um a denota a₁ ou a₂ ou ... ou a_n, em que ou significa que nenhum em particular deve ser escolhido, assim como em todos os a's nós não devemos escolher nenhum em particular.

(5) Algum a denota a₁ ou denota a₂ ou ... ou denota a_n, em que não é irrelevante qual é escolhido, mas, do contrário, que algum a em particular deve ser escolhido.

Como a natureza e as propriedades das várias maneiras de combinar termos são de importância vital para os princípio da matemática, pode ser aconselhável ilustrar as suas propriedades pelos seguintes exemplos importantes.

(α) Seja a uma classe e b uma classe de classes. Nós obtemos, pois, as seis relações possívels de a para b das várias combinações de qualquer, um e algum. Nesse caso, todos e cada não introduzem nada de novo. Os seis casos são como segue.

    (1) Quaquer a pertence a qualquer classe que pertence a b, em outras palavras, a classe a está por inteiro contida na parte comum ou produto lógico das várias classes que pertencem a b.

    (2) Qualquer a pertence a um b, i.e. a classe a está contida em qualquer classe que contenha todos os b's ou está contida na soma lógica de todos os b's.

    (3) Qualquer a pertence a algum b, i.e. há uma classe que pertence a b na qual a classe a está contida. A diferença entre este caso e o segundo se origina do fato de que aqui há um b ao qual cada a pertence, enquanto antes estava somente decidido que cada a pertencia a um b, e diferentes a's poderiam pertencer a diferentes b's.

    (4) Um a pertence a qualquer b, i.e. qualquer b que escolhamos, ele tem uma parte em comum com a.

    (5) Um a pertence a um b, i.e. há um b que tem uma parte em comum com a. Isso é equivalente a "algum (ou um) a pertence a algum b."

    (6) Algum a pertence a qualquer b, i.e. há um a que pertence à parte comum de todos os b's, ou a e todos os b's têm uma parte em comum.

(β) É instrutivo, visto que mostra a generalidade do tipo de relações aqui considerado, comparar o caso acima com o seguinte. Sejam a, b duas séries de números naturais; então seis casos precisamente análogos surgem.

    (1) Qualquer a é menor que qualquer b; ou, a série a está contida entre os números menores que qualquer b.

    (2) Qualquer a é menor que um b; ou, seja o a que for que escolhamos, há um b que é maior; ou, a série a está contida entre os números menores que um termo (variável) da série b. Não se segue que algum termo da série b seja maior que todos os a's.

    (3) Qualquer a é menor que algum b; ou, há um termo de b que é maior que todos os a's. Que este caso não seja confundido com (2).

    (4) Um a é menor que qualquer b, i.e. qualquer b que escolhamos, há um a que é menor que ele.

    (5) Um a é menor que um b, i.e. é possível encontrar um a e um b tais que o a é menor que o b. Isso meramente nega que qualquer a é maior que qualquer b.

    (6) Algum a é menor que qualquer b, i.e. há um a que é menor que todos os b's. Isso não era implicado por (4), onde o a era variável, enquanto que, aqui, ele é constante.

Nesse caso, a matemática atual forçou a distinção entre a variável e a disjunção constante. Mas, em outros casos, sobre os quais a matemática não obteve domínio, a distinção foi neglicenciada; e os matemáticos, como era natural, não investigaram a natureza lógica das noções disjuntivas que eles empregavam.

(γ) Irei dar mais outro exemplo, uma vez que ele produz a diferença entre qualquer e cada, que não foi relevante nos casos anteriores. Sejam a e b duas classes de classes; caso em que vinte relações diferentes entre elas se originam de diferentes combinações dos termos dos seus termos. Os seguintes termos técnicos [technical terms] serão úteis. Se a for uma classe de classes, a sua soma lógica consiste de todos os termos que pertencem a qualquer a, i.e. todos os termos tais que há um a ao qual eles pertencem; enquanto que seu produto lógico consiste de todos os termos que pertencentes a cada um dos a's [every a], i.e. à parte comum de todos os a's. Nós temos, pois, os seguintes casos. 

A tradução deste capítulo está em andamento.
Última atualização: 02/04/2009

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